哪些作用呢？由此展开 . 新课 思路2.我
们已经学习了三角函数的概念,特别研究了三角函数的周期性、图象与性质.在现实生活中,如果
某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三
章第二模型“函数节及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它
呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.推
进新课新知探究提
出问题①回忆
从前指所学,、函数数对数函数以及幂中的的模函数是常用来描述现实世界型都哪些规律的?②数学模型是
什么,建立数学模型的方法是什?么③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理
搜集到的数据?
1.6 三角函数模型的简单应用整体设计教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.3.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课 思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥


生互回忆,唤起动,充分复习前方习过面学立数学模型的的建法与过程.对课前已经做好
复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前方学所识知法,继续数究新的探学模型.对还没
有进入状态的教生,学师要帮助回忆并快速激起方相的知识应法.在教师的引导下,较好学生能够
地回忆起实际问题的基本过程是:收集数据→画散点解决→选择函数模型→图求解函数模型→检
验→用函数模型解释 . 实际问题 这点很重要,学生
只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃标而解.课新下的教学要
求,不是教师给学生解决问题或带领教生解决问题学,而是师引领学生逐步登高,究中在合作探
自己解决问题,探求新知.讨论
结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地
说,数学模型就是把实际问题用数学语言再抽概括,象从数学角度来反映或似近映地反
实际问题时,所得出方关于实际问题的数学描述.数的模型的学法,是把以际问题加实抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一
般数学方法.③解决问题的一
般程序是:1°审
题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系°2；建模:分析题目变化
趋势,选择适当函数模型；3°求
解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结4论；°还原:把
数学结论还原为实际问题的解答.④画
出散点图分析它的变化,确定合趋势,适的函数模型.应用
示例例1 如
图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足y函数=sin(ωx+φ)+b.图1(1)求
这一天的最大温差;(2)写出
这段曲线的函数解析 . 式 活动:这
道0题是20例2年全国卷
一的道教考题,高究时探师与学生一
起讨论.本例是研究温度随
时间呈教周期性变化的问题.师本例可引导学生思考,给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是
什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决. 题目
给出了某个时间段的温度变化曲线小题实际上.其中第这个模型(1)就是求函数图象的解析
,然式再后求的数函最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大差温”实际指的是“求6是到14时这
段时间的最大可根据温差”,前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求
解析式.让小生体会不同的函数模型在解决具体问学时的不同作用.第(2)题题只要用待定系数
法求出解析式中的未知参数,即可确解析定其式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这
段时间的最大温差.是0 2℃(2)从图中可以
看出,从6—14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半,,∴A=(30-10)=10个周期的图象b= (30+10)=20.∵·=14-6,∴ω=.将x=6,y=10代
11
2122
32
入上 ,解得φ=.式 综上,所

348
求解析式].y=10sin(x+)+为0,x[6,142∈ 点

48
中:本例所评给出一的段图象实际上只即6取4—1可,这恰好是半提期,周个醒生注意学
抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意

自变量的变化这点范围,往往被学生忽略掉.
活动:师


国i 函数y=|s高考nx|的一个单调增区间 ( )A.(,) B.(,) 是 C.(π,) D.(,2π)答案:C例3 如
333

422444
地2,设图球表正某地面午太阳高度时为θ,δ角为此为阳直射纬度,φ太该地的纬度值,那么这三个
量之间°-|θ=90的关系是φ-δ|.当地取δ取正值夏半年,冬半年δ负值. 如果
在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢的为高h0房北楼面盖新一要楼,使新楼一层正
午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多 ? 少 活动: 如图2本例所用地理知识、
物理知识较多,综合性比较需强,调动相关学科的知识来帮助
理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际解景背,理各个量义的含
以及它们之间的数量.关系 首先
由题意要知道太阳高度角的定
义:设地球表面某地纬度值为φ,正
太阳午高度时角为θ,此太阳直射纬度
为δ,那么这三个量之间系关的是θ=90°-|φ-δ|.当地
夏半年δ取正值,冬半年δ取负值. 根据地理知识,能
够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳
高度、角θ楼与此时h高0楼房在地面的投影长h之间有如下 : 关系 h0=htanθ. 由地理知识知,在
北京地,区太阳直射北回归线时物体的线子最短,影直射南回归时物的影子最长体.因此,为了
使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考线太阳直虑南回归射时的情况.图3 解:如
图3,A、B、C分别为
太阳直射北回归线、赤道
、南回归线时楼顶在地面上的
投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的,楼房遮挡应取太阳直射南回归线的情况
考虑,此时的2太阳直射纬度－3°26′.依题意两楼的间距C.M应不小于 根据
太阳高度角的定 , 义 有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′, 所以MC＝=≈2.000h0, 即
hh
00

在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要
tantan26C34'
留出相当于楼高两倍的.间距 点
是:本例研究评楼与高楼在地面的投影长题关系问的,是将实际问题接直抽象为与三然函数有关的简单函数模型,角
后根据所得的函数模型解决问题.要直接来建立函数模2根据图型,学生会有一定
困解,而难决这一困难关的键是联系相关知识,画出图3,然后立图形建由函数模型,问题得以
求这解.道题的结论教一定的实际应用价值有.教学中,师可以在这道础题的基
上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.变
式训练 某
市的纬度是纬北23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层楼米,3与楼之间相
要15米.距使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
例2 2007全


图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度3h=15tan［90°-(2为°+23°26′)］=15tan43°34′≈14.26,由于
每层楼3米,根据以上数据高为,所以他应选3层以上.知能
训练课本本节
练习1、2.解
答:1.乙
点的位置将移至它关于x轴的对称点处.点
11
评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点在又因为,
22
波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐坐标变,横在标不变,所以经过周期乙,位点
置将移至它关于x轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁..2点相同如CCTV—1新
闻联播节目播出1的周期是天.点
评:了解实际生活中发生的周期变化现象.课
堂小结1.本节课
我数模习了三个层次的三角函们学型的应用,即析根