1.6 三角函数模型的简单应用


1.知识目标：通过对三角函数模型的简单应用的学习，初步学会由图象求解析式的方法；体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(重点）2.能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．(重点、难点）


3.情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的作用和价值，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.




　　现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用.


星………化变票股②y正弦型函数1.物理情景——①简谐运动②体的环绕运动2.地理情景—— ①气温变化规律②月圆与月退3.心理、生理现象—— ①情绪的波动②智力变化状况③体力变化状况4.日常生活现象—— ①涨潮与缺潮…Anis(x)
(A0,0)


yAsin(x)b.w=+j+T/℃1020300t/h61014（1）求这一天6时～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.
128根据图象建立三角函数关系：例1.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数


1
b=+=2)00,103(
2
12pp
Q=w\=-�. 1 64 因为点（，6，10）是五点法作图中的第四点，故
8
2w
p
33pp
=j=�+j6,.解得故所求函数解析式为
24
8
pp3
y10sin(x)20x[6,14].=++�型 一般地,所求出的函数模，只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.
84
解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20ºC。 （2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数 y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以1A(3010)10,2=-=


11
��
Afxfx=-,��
()()fxbfx=+，
()()
��xminma
��xminma
2
2
2p
利用求T=得，，w
w
利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标，
满足函数解析式可求得jjp,.注意通常�
方法小结：


根据解析式模型建立图象模型例2.画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.


-p2p
2-Op2p-2pp
yyxy＝|sinx|nisx
解：函数图象如图所示从图中可以看出，函数 是以π为周期的波浪形曲线.


n(isx 期周的函为π数以是所以，函数 .)snixisnx,
y：.法我们也可以这样进行验证方 利用函数图象的直观性,常通过观察图象而获得对函数性质的认识,这是研究数学问题的用 nisx
由于


实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型
设地球表面某地正午太阳为高角度，为此时
太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间
的关系是 ＝90º－| － |.当地年夏半 取，正值
冬半年 取负值.
jd-太阳光将
q
j
d
例3.如图，


高度角的定义j
设地球表面某地
纬度值为 ，正午太阳
j-d
高度角为θ，此时太阳

直射纬度为δ ，那么

这三个量之间 关系是 的 .当地夏半年

δ取正值，冬半年
δ取负.90||值q=-j-do太阳光
o地心北半球南半球太阳
-j-dq=90||
如图，


直射南半球
o
j-d
90-q=j-d
o

90||-q=j-d

o地心太阳光
-j-dq=90||

太阳光


果在京北地区（纬数度约为北纬4一º）的0幢高为h0的
楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不
被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？M
被太阳够直到射地的区为——南
、北回归线之间的地.带画出图形如下，由画图易知A B Ch0
 如
分析：根据地理知识，能


hh
00
MC2.000 h==�
0
o 即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距.
�
tanCtan2634
解：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-23º26'，依题意两楼的间距应不小于MC.根据太阳高度角的定义，有∠C=90º-|40º-(-23º26')|=26º34'所以，


实际问题抽象为三角函数模型的一般步:聚理解题意建立三角函数模型求解还原
解答
将


受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫
，.一般地潮早潮叫潮，晚潮下叫.在通常情况汐，船在涨潮时
驶进航道，靠近码头；后卸货，在落潮时返回海洋
，下面是某港口在某季节每时的天间与水深的关系表
：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0
例4.海水


选近一个函数来用似描述这个港口的水深与时间的函数关系，
给出整点时的水深近的似数值.（精0到确.01）0（2）一
条货船的吃水深度（船底与面水的距离）为4米，
安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（底船与洋底的
距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多？久（3）
若某船的吃水深度为4米，隙全间安为1.5米，该船
在2:00开始卸货，吃水深度以每时0小米.3的速度减少
，那么该船在什么时间必须停止货卸，将船驶向较深的水域？
（1）


7.50
5.00
2.50
03692115811242
yhxA+点图散出=+画解：（1）以时间为系坐标，水深为纵坐标，在直角坐标横中.)n(isjw
根据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：


j
p
2p
w=所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：
T12==
w由 ,得.6
p由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0.001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.750时刻12.0013:0014:0015:0016:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.5007.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754
yx=+25..5sin
6
A=2.5,h=5,T=12, =0;


psin0.26=，x
p由计算器计算可得0.2014,0.201466�-� xx
pp
p或
（2）货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 （米），所以当y≥5.5时就可以进港.令化简得2.5sin55.56+=，x


易性期周数函有以所， 因 xx 为 得��.38465.04156, ，AB
x 右左时小�120.384612.3846,125.615417.6154.�+=�+= CDxx 因此，货船可以在凌晨0时30分左进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留右5.]42,0[
解得


（3）设在时刻x货船的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.


通过计算可得，在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米，因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将货船驶向较深的水域.


012·菏泽高一检测）单摆从某点开始来回摆动，开离平衡位置O的
距离s mc和时间t:s的 数关系式为函s=6sin(2
t+π )么,那单摆来回摆动一次所需的时间为( )A
.2π s B.π sC
.0.5 s D.1 sD6p
1.(2


知某海滨浴场的海浪时度y(米高)是间t（其中0≤t
≤24，单位：小时）的函数，记y作=f(t)，下表是某日各
时的浪高数据：t
(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5
2.已


期观测,y=f(地)的曲线t近似可看成是函数y=Aco
s数t+b，根据以上数据，函ω的解析式为_______.
1
解析:Q,.=b+A-,A+A=.=50,1b,51b=\
2
21ppp
又=1,=TQtcy2,1.os=+=w\从而
T626
1p
答案:y1cost=+
26
经长


0潍12坊·高一测检）若函数f(x)=sinx+s|2inx|， x
［0∈2,］π的图象与直线yk有=且有只两不个同的交点，
则k的取_范围是 值_____.【解析】
3sin,[0,]xx�p
�
fx()=
�
-�n,[,2]sixxpp
�其图象如图所示，若有两个交点，则1＜k＜3.答案：1＜k＜3
3.(2


抓住图象的数
字特征确定相的关参数值，同的要注意时数函定义域. 2.对于现实
世界用具有周期现象的实际问题，可以利中三角函数模型描述其变化规律.先
根据相关数据出作散点图，
再进行函数拟有，就可获得具体的函数合型，模了这个函数模型就可以解决
相应的实际问题.
1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要


辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东
方皆落后，亚洲崛起有黄人。——吴玉章
　
不