福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师2.2用样本估计总体（三）问题提出1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图2. 美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：甲运动员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49.乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，39.如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征.知识探究（一）：众数、中位数和平均数思考1：以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？思考3：中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？思考4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.思考5：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25， 2.75，3.25，3.75，4.25.思考6：将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就是样本数据的估值平均数. 由此估计总体的平均数是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 平均数是2.02.福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师


易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表
达样本数据中的少量 . 信息 平均数
代表了数据更多的信息，但受样本中每个，据的影响数越对端的数据极平均数的影响也
越大.当
样本数据质量比较差时，使数众数、中位数用平均或描述数据的中心位置，可能与实际
情况产生较大的误差，难以反映样本数据的状际实们，因此，我况需个一要统计数字刻画
样本数据的离散程度.知识探究（
二）：标准差思考1：在一
次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环 甲：7 8 7 9 5 4 9 10数如下： 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7甲、乙两
人本次射击的平均成绩分别为多少环？思考2：甲、乙两
xx==77，
甲乙
人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差
异在那里吗？甲的成
绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，
设想其过各数据到通平均数的平均离距来反映本福建数学网样www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师
福建数学网www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.思考8 （1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.（2）样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.（3）你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数.样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容


散程度，那么这个平均距离如何计算？思考4：
||||||xxxxxx-+-++-L
12n
n
映反的本数据分样散程，的度小大最常用的统计量是标准，一般用s差表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为
则标准差的计算公式是：那
x，
222
)()()(xxxxxx-+-++-L
12n
s=
n
么标准差的取值范围是什么？标准的样本数据有何特点？0差为 s≥0，标
准0的样本数据差为都相的. 思考5：对于一个容量为2等样本：x1，x2(x1则221221xxsx在x，x数轴这两个上，
统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？标
准差越大离散程度越大，数据较分散；标
准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围. 知识
迁移计
算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性. 甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7课堂
小结1.用样本的众数、中位数、平均数和标
准差等统计数据，估计总体相应的统2.计数据. 平均数对数据有“取
齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标
准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解
决问题作出决策. 作业：《习案》
作业二十、作业二十福建数学网一www.fjmath.com 致力于服务广大八闽高中数学老师
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