§1.6　三角函数模型的简单应用课时目标　1.会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)ymax＝________，ymin＝________.(2)A＝________________，k＝________________________________.(3)ω可由________________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝________，ωx2＋φ＝________，ωx3＋φ＝______，ωx4＋φ＝____________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)A. s B. s C．50 s D．100 s2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　　)A．3或0 B．－3或0C．0 D．－3或34. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)


5．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]题　号12345答　案二、填空题6．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．三、解答题9. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？


不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在
什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，
它在港内停留的时间最多不能超忽略过多长时间？(离港所用的时间)能力
提升11．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针
运动，其初，角速度为P0(，－)始位置为1，那么点P到x轴
距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)12．某时钟的
秒，A到中心点针端点的距离为5 cmO秒针均匀地绕tO旋转，当时间点＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两
点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究
物理、生物、自然
(运界中的周期现象有着动)广泛的应用．2．三角函数模型
构建的步骤(1)收集
数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
10．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离


作散点图，选择函数模型进)(3行拟合．利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意
义，对答案的合理性进行检验角§1.6　三．函数模型的简单应用答案知
识梳理1.　　2．(1)A＋k　－A＋k　(2)　　(3)ω＝　(4)0　　π　π　2π3．周期作
业A1．A　2.设计3．D　[因
为f＝f，所以直x线＝是函数f(x)图象的对称轴f＝3sin＝．所以3sin＝±3.因此选D.]4．C　[d＝f(l)＝2sin .]5．A　[在
给定的四个选中，A项B、C、D、我们不妨代入t＝0及，＝t3容易6似表示表中数据间对应关系的函数是A.]6．2看出最能近,27,28解析　∵T＝，
又∵<<，∴8π且m∈Z，∴m＝26,27,28.7．80解析　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．8.解析　T＝＝1.∴ ＝2π.∴l＝.9．解　(1)如图所示建立
直角坐φ设角标系，是以Ox为始
边，OP0为终边的角．OP每
秒P.由O钟内所转过的角为＝在时间t(s)内所转过的角为t＝t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，
即φ＝－.故
所求的函数关系式为z＝4sin＋2.(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，令t－＝，得t＝4，故
点P第一次到达最高点大约需要4 s.10．解　(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，
因mω＝＝.又ymin＝7，y此ax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，∴sint≥，t∈，k＝0,1，
(2)制


安全进港．若
欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超16小时．11．C　[∵过P0(，－)，∴∠P0Ox＝.按逆时针转时间t后
得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐－2sin(t标为)，∴d＝2|sin(t－)|.当t＝0时，d＝，
排除A、D；当t＝时，d＝0，
排除B.]12．10sin 解析　将解析式可
写(d＝Asin为ωt＋φ)形式，由题意易0A＝10，当t＝0时，d＝知，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin .
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能