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§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝AB＋BC＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝______________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.一、选择题1．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示( )A．向东南航行 km B．向东南航行2 kmC．向东北航行 km D．向东北航行2 km2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )A.AB＝CD，BC＝ADB.AD＋OD＝DAC.AO＋OD＝AC＋CDD.AB＋BC＋CD＝DA3．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则( )A．四边形ABCD一定是矩形B．四边形ABCD一定是菱形C．四边形ABCD一定是正方形D．四边形ABCD一定是平行四边形
∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA等于( )A. BD B. DBC. BC D. CB6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( )A．1 B．2C．3 D．2题 号123456答 案二、填空题7．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________.8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB＋BC＋AC的模等于________．9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝________；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4)BA＋DB＋EC＋AE＝________.三、解答题11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )A．a
求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝______.14．在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)AC a＋b AC 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)作业设计1．A 2.C 3.D 4.A5．C [BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.]6．B [|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.]
7．0解析 注意DC＋BA＝0，BC＋DA＝0.8．2解析 |AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝2.9．8解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.∴|a＋b|的最大值为8.10．(1)DA (2)0 (3)DB (4)DC11．解 如图所示，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5 (km/h)．∵四边形OACB为矩形，∴|OA|＝＝5 (km/h)，|OC|＝＝10 (km/h)，∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，因为FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE，所以AE＝FC，即AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．13．0解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，∴GA＋GB＋GC＝0.14．解 如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD即表示船航行的速度．因为|AB|＝4 ，|AC|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以|AD|＝8 ，∠BAD＝120°.即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可5. 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA等于( )A. BD B. DBC. BC D. CB6. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等于( )A．1 B．2C．3 D．2题 号123456答 案二、填空题7．在平行四边形ABCD中，BC＋DC＋BA＋DA＝________.8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则AB＋BC＋AC的模等于________．9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．10. 设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式(1)DE＋EA＝________；(2)BE＋AB＋EA＝________；(3)DE＋CB＋EC＝________；(4)BA＋DB＋EC＋AE＝________.三、解答题11．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．12. 如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )A．a
求证：四边形AECF是平行四边形．能力提升13．已知点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝______.14．在水流速度为4 km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．§2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义答案知识梳理1．(1)AC a＋b AC 0 a a (2)OA OB 平行四边形 OC2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)作业设计1．A 2.C 3.D 4.A5．C [BC＋DC＋BA＝BC＋(DC＋BA)＝BC＋0＝BC.]6．B [|AB＋FE＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.]
7．0解析 注意DC＋BA＝0，BC＋DA＝0.8．2解析 |AB＋BC＋AC|＝|2AC|＝2|AC|＝2.9．8解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.∴|a＋b|的最大值为8.10．(1)DA (2)0 (3)DB (4)DC11．解 如图所示，OA表示水流速度，OB表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|OB|＝5 (km/h)．∵四边形OACB为矩形，∴|OA|＝＝5 (km/h)，|OC|＝＝10 (km/h)，∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度为10 km/h.12．证明 AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝DC，因为FD＝BE，且FD与BE的方向相同，所以FD＝BE，所以AE＝FC，即AE与FC平行且相等，所以四边形AECF是平行四边形．13．0解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，∴GA＋GB＋GC＝0.14．解 如图，设AB表示水流速度，则AC表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则AD即表示船航行的速度．因为|AB|＝4 ，|AC|＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.所以|AD|＝8 ，∠BAD＝120°.即船航行的速度大小为8 km/h，方向与水流方向所成角为120°.
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