第52讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理1. 空间几何体(1)多面体①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延长后交于一点．(2)旋转体①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)圆台的母线延长后交于一点．⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2 π rhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝π rlV＝Sh＝πr2h＝πr2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh3. 几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1面积体积正棱锥S侧＝Ch′V＝Sh正棱台S侧＝(C＋C′)h′V＝(S上＋S下＋)h球S球面＝4 π R 2V＝πR3


2；水位为海拔
481．5m时，相应水面的面积为751．5m时，相应水面的面积为
140．0km
2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
180．0km
481．5m上升到715．5m时，增加的水量约为（❑
√7≈2.65）（ ）A．
93B．93C．9D3．9m【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0k32=140×106m2，下底面积S'=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ
1.0×10m1.2×10m4.1×10m1.6×10m
(S+S'+❑)=13×9×401(×106+180×❑106+)¿3×
√SS'140√×180×1012
(320+60❑≈×)106(96+18×2.65××107=1.437×109≈1.4)109(m3)．故选：C．2、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
√7
❑
3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ 3 ）A．
√
418,81[]B．[4,81274]C．327[4,64]D．[18,27]【答案】C【解析】∵ 球的体积为
36π，所以球的半径R=,3设正四棱锥的底面边长为2a，高为ℎ，则l2=2a2+ℎ2，32=2a2+(3−ℎ)2,所以
2，22V所以正四棱锥的体积2=13S
6ℎ=l2a=l−ℎ
ℎ=13×4a2×ℎ=23×(l2−l436)×l26=19
36l4−l6()，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2
已知该水库水位为海拔


(4l3−l563=1)l924−6l2(当)，
''
❑
3≤l≤26时，V>0，当2❑V<，所以当0l=2❑
√❑6√6时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又
81
l=4时，V=273，l=3❑V=
√3时，
4,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是
2764
，
[0.故选：C.3、【2]22年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3❑
43
√3和4❑A3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）√．100πB．128πC．144πD．192π【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
❑❑
3343
√√
r,r
2r=,2r=
12，所以
1∘2∘，即
sin60sin60
r=3,r=4，设球心到上下底面的距离分别为d,d
R，所以d1=❑
√R2−9，d2=❑
1212，球的半径为
d+d=1，即
|d1−d2或=|1|❑|=1或
√R2−16，故
12❑R2−9√−√R2−16
❑2❑2
R−9+R−16=2，解得R1=25符合题意，所以球的表面积为S=4πR2=100π．故选：A．4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影
√√
ABC���满足,,
��
�=�Т�，ACB45Т点的仰B=�．由C点测得角为BAC60
���的高度差
15�，�与CC点的仰角为的差为100；由B�点测得A45，，则两点到水平面A�CCAB
BB
��31.732）（ � ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3
AACC-约为（
所以V'=19


AB，''
过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得进而得到答案．【
详解】过
C作CHBB^，过'
B作ABDA^，故'
CBBAAHBBBAACAADA00100'''''1'-=--=-+=+，由题，
()
△为等腰直角三角形，所以ADB
易知ADDB=．所以
BACCDBAA'100''100'-=+=+．因
100
CHCB==''
为
，所以�=�BCH15tan15�在
V中，由正ABC'''
弦定理得：
BCBA100100''''
===
15in45sin75tan15cos15sins�����，而
62-
0n15sin(4530)sin45cos30cos45sin3si�=�-�=��-��=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4
4
A．346B．373C．446D．473【答案】B【解析】【分析】通


2
1004��
2
BA100('1)2733'==+�，所以
62-
BACCAA373001''''、=+�．故选：B．5-【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
BCACBCAC则三棱锥^==，1,
OABC的体积为（ - ）A．
2
233
12B．12C．．D44【答案】A【解析】
Q，CBCACACB==^1,
\为等腰直角三角形，VBCA则，\=BA2
2
V外接ABC圆的半径为2，又球的半径为1，设
O到平面ABC的距离为
d，则
2
��
22
2
d=-=1
��
��
22
��，所以
11122
SdV=�=�=���11
OABCABC-V.故选：A.6、【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A．
332212
56282
01232．+B282C．
3D．3【答案】D【解析】作
出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5
所以


为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高
2
2
h-，==-下底面面积22222
()
S=，上底面面积16S所以该棱台的体积=，4
12
1128
VSSShS年新0202=++=��++【.故选：D.7、=2644612
()()
1212
333
课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的
比 值为（ ）A．
15．-B15-C．51+D．51+【答案】C【解析】如图，设
4242
2
a
222
POPEOEb=-=-，由题意
bCDaPE==，则,4
2
1a1bb
222
bab-=，
POab=，即化简得4()210-�-=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6
242aa
因


b15+
=（
a4负值舍.故选：C.去）8、【2020年新
O为O的面积为
为球ABC,,
O的球面上的三个点，⊙1V的ABC1
课标1卷理科】已知外接圆，若⊙
ABBCACOO===，则球
4π，1的表面积为（ O ）A．
64πB．48πC．36πD．32π【答案】A【解析】设圆
O半径为
1
r，球的半径为R，依题意，得
2
pprr=\=，4,2
由正V为等边三角形，CAB
Q
ArB=�=，3206nsi2
弦定理可得
，==\ABOO32OO^平面
11ABC，
根据球的截面性质
2222
，=+=+==^\OOAOrOOOARAOOO4,
11111
2
的表面积OSR原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究学科网（北京）股份有限公司！==故选：A.7464pp
\球
解得


B. 2 cm　　　　　　　 C. 3 cm D. cm【答案】B【解析】
　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2. 故选B.2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与
斜高的夹，则该四棱锥的侧面积30°角为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A. 32 B. 48 C. 64 D. 【答案】 A【解析】 如图，正四棱锥的高PO，
斜组高PE，底面边心距OE成直角三角形POE. 因EO为＝2cm，∠OPE＝30°，所以
斜PE＝＝4，所以S正棱锥侧＝高×4×4×4＝32.故选A. 3、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12π B．12π C．8π D．10π【答案】
　B【解析】　设圆柱的轴截面的边长为x，则由x2＝8，得x＝2，∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×()2＋2π××2＝12π.4、（
深圳市高级中学集团期末试已知圆锥的表面积为）题3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（
　　）A.
33
π
3πB.
3C. D. 33【答案】C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8
1、已知圆锥的表面积等于12π cm