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第52讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理1. 空间几何体(1)多面体①棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱．底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．②棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些所围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥．底面与截面之间的部分，叫棱台．棱台的各侧棱延长后交于一点．(2)旋转体①旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面．②旋转体：封闭的旋转面围成的几何体．③圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．④圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．⑤圆台：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．(或用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥．底面与截面之间的部分，叫做圆台．)圆台的母线延长后交于一点．⑥球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．经过球面上两点的大圆劣弧的长叫做球面距离．2. 柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱圆锥圆台＝π(r＋r＋r1r2)h直棱柱3. 几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 ．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 与底面面积之和．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1面积体积正棱锥正棱台球
2；水位为海拔
148．5m时，相应水面的面积为157．5时，相应水面的面积为m180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
140．0km
148．5上升到157m．5m时，增加的水量约为（❑
√7≈2.65）（ ）A．1.0×109m3B．
9C．1.43×109m3D．1.6×109m32、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
1.2×10m
❑
3≤l≤3√ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ 3 ）A．
418,81[B]．4274,[81]C．27[4,643]D．[18,27]3、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3❑
√3和4❑3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ √ ）A．
100πB．．28π1C144πD．192π4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影
���满足
ABC,,
��
�=�Т�，ACB45Т点的仰B=�．由C点测得角为BAC60
点的仰角为的差为100；由B点测得A����的高度差
15�，�与CC45，则�A，C两点到水平面ABC
BB
��31.732）（� ）A．346B．373C．446D．4735、【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
AACC-约为（
BCACBCAC则三棱锥^==，1,
OABC的体积为（ - ）A．
2323
4D．
2B．112C．26、【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为4，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2
1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
282
56
20123+B．
282C．3D．73、【2020年新课标1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建
筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的
比 值为（ ）A．
15．-B15+D．
51-C．51、8+【2020年新课标1卷理科】已知
4242
O为O的面积为
为球ABC,,
O的球面上的三个点，⊙1V的ACB1
外接圆，若⊙
ABBCACOO===，则球
1的表面积为（ O ）A．
4π，
46．Bπ84．πC36πD．32 1、已知圆锥的表面积等于12ππcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A. 1 cm
B. 2 cm C. 3 cm D. cm2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与
斜高的夹 30°，则该四棱锥的侧面积( ) A.角为32 B. 48 C. 64 D. 3、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．12π B．12π C．8π D．10π4、（
深圳市高级中学集团期末试已知圆锥的表面积为）题3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（
）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3
A．
33
π
3πB.
3C. D3. 3考
向空间几何体的的表面积 一例1、1．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm．则三棱台的
斜 高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 ．2．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．3．正
六棱柱的底面边长为4，高为，则它的6外接球(正六棱柱的顶点都在此)的表面积为球面上________．变式1、（1）（江苏省
南通市西亭高级学年高三下学2019-202中学0期学情调研）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别
S、2,S则有12:SS= （2）（江苏省
1
记为
南通市海安高级02中学19-2020学年高三下学期阶段考试）现有一个橡皮泥制面半径为作的圆锥，底1，高为4.若将它
制作成一个总体积不变_______.变式的球，则该球的表面积为2、（1）（2022年
江苏省淮安市高三模拟试卷）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的
比值是（ ）A.
1B.+ 2p12.+ Cp12+D. p14统+（2）（2023·广东·p
2pp2p
4p
考一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之
比 为（ ）A．
2
3
1
2C．3D．3方法
2B．
总结：几何体的表面积的求法(1) 求
表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发
点．(2) 求
不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，
再通过求和或作差求得几何体的表面积．考
向二 空间几何体的体积例2、 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4
A.
，使ADC⊥平面ABC，得到空间图形D平面-ABC，如图2所示．(1) 求证
：BC⊥平面ACD；(2) 求
空间图形D-ABC的体积．
图1 2变式1图、（1）（江苏省
南通市海安高级三学2019-2020中学年高阶段测）试如图正四棱柱
ABCDABCD的-体积为27，点E
EFBC，则四棱锥）（1AAEFD-的体积为___________.（2江苏省//
1111
，F分别为棱11,的点BCC上B（异于端点）且
DBCDABCA-的体积为
1111
南通市海安高级02019-2中学20学年高三9月月考）已知长方体
ABCD_的体积为-_____.方法
72，则三棱锥1
总结：本题考查空间几何体的体积运算．应注意：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则
可直接利用公式进行求，解其中，等积转换法多用求来若所三的体积．(2棱锥)给定的几何体是不规
则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．考
向三 与球有关的切、接例3、已知直三棱柱问题ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A. B. 2C. D. 3变式1、 (1) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线
均相切．记O1O圆柱2的原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5
起
切，则该正三棱锥的内切．径为________球的半变式2、（2020·河
南高三期末（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率
ABCD-的每个顶点都在球O的球面上，BCD，
AB^底面
的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥
BCCD^，且3ABCD==，BC=，2的表面积为（ ）OA．30B．
利用张衡的结论可得球
1010C．33D．1210变式3、（2020届山东省潍坊市
ABC，BC的中点，以
D为
高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形
p
�=，则过BDC
折痕进行折叠，使折后的2，CD四点的球的表面积为（ ）A．
AD为A，B，
6p方法
3p．B4．pC5pD．
总结：解决与球相关的切、接问题的解题要领：(1)的内球切问题主要是指球内切多面体与旋转体答，解
时首先要找准切点，通面作截过来解��
2；水位为海拔
148．5m时，相应水面的面积为157．5时，相应水面的面积为m180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
140．0km
148．5上升到157m．5m时，增加的水量约为（❑
√7≈2.65）（ ）A．1.0×109m3B．
9C．1.43×109m3D．1.6×109m32、【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
1.2×10m
❑
3≤l≤3√ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ 3 ）A．
418,81[B]．4274,[81]C．27[4,643]D．[18,27]3、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3❑
√3和4❑3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ √ ）A．
100πB．．28π1C144πD．192π4、【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影
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点的仰角为的差为100；由B点测得A����的高度差
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BCACBCAC则三棱锥^==，1,
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2323
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2B．112C．26、【2021年新高考2卷】正四棱台的上､下底面的边长分别为4，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2
1、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
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56
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筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的
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O为O的面积为
为球ABC,,
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4π，
46．Bπ84．πC36πD．32 1、已知圆锥的表面积等于12ππcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A. 1 cm
B. 2 cm C. 3 cm D. cm2、 正四棱锥底面正方形的边长为4，高与
斜高的夹 30°，则该四棱锥的侧面积( ) A.角为32 B. 48 C. 64 D. 3、已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．12π B．12π C．8π D．10π4、（
深圳市高级中学集团期末试已知圆锥的表面积为）题3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（
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A．
33
π
3πB.
3C. D3. 3考
向空间几何体的的表面积 一例1、1．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm．则三棱台的
斜 高为 ；三棱台的侧面积为 ；表面积为 ．2．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．3．正
六棱柱的底面边长为4，高为，则它的6外接球(正六棱柱的顶点都在此)的表面积为球面上________．变式1、（1）（江苏省
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向二 空间几何体的体积例2、 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司4
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图1 2变式1图、（1）（江苏省
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总结：本题考查空间几何体的体积运算．应注意：(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则
可直接利用公式进行求，解其中，等积转换法多用求来若所三的体积．(2棱锥)给定的几何体是不规
则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．考
向三 与球有关的切、接例3、已知直三棱柱问题ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A. B. 2C. D. 3变式1、 (1) 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线
均相切．记O1O圆柱2的原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5
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切，则该正三棱锥的内切．径为________球的半变式2、（2020·河
南高三期末（文））张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率
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