6.2.1 平面向量的线性运算（精讲）思维导图1


v、v，分别用两种方法求作向量
ab
vv．【答案】见解析【解析】将
ab+
r的起点移到r的终点，再首尾相接，可得rr；将两个向量的起点移到点
baab+
r、
r为邻边，作出平行四边形，则过点
a
b
A，利用平行四边形法则，以A的对角线为向量
rr.如图所示，uurrr．u（1）；常见考法2
ab+ABab=+
考法一 向量的加法运算【例1-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量


v表示“向东走v表示“向西走v表示“向北走
10km”， 5km”，
abc
uv表示“向南走
10km”， d5mk”，那么下列向量具有什么意义？（1）
vv；（4）
vv；（3）
vv；（2）
aa+ab+ac+
vv；（5）vvvv
v；（6）.v【答案】（1）向东走
bd+bcb++dad++
20km；（2）向东走5km；（3）向东北走
210km；（4）向西南走25km；（5）向西北走
102km；（6）向东南走102km.【解析】由题意知：
r表示“向东走r表示“向西走r表示“向北走
ur表示“向南走
a10”， kmb5”， kmc10km”， d
5km”（1）
rr表示“向东走
aa+20km”3
（2）；（3） ；（4）.【例1-2】（2020·全国高一课时练习）如果


rr表示“向东走
ab+5”mk（3）
rr表示“向东北走
ac+102”km（4）
rur表示“向西南走
bd+52”km（5）
rrr表示“向西北走
bcb++102mk”（6）
urrur表示“向东南走
dad++1021m”【例k-3】（2021·重庆市大学城）向量
uuuruuuruuuruuuruuuur﹒化简后等于（ ）A.
ABMBBOBCOM++++
()()
uuuurB.0C.0rD.ACuuur【答案】D【解析】
AM
uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuur
CBMBBOBCOMABBOOMMBBCAOOMMBBA++++=++++=+++
()()
uuuuruuuruuuruuuruuuruuur, 故选D.【例1-4】（2020·湖南长沙市·高一期末）已知点
=+=++=CBBAACCBBMMA
D，E，F分别是△各边的中点，则下列等式中错误BCA的（ ）A．
uuuruuuruuurrC．
uuuruuuruuurB．
FFDDEE++=0
FDDAFA+=
uuuruuuruuurD．
uuuruuuruuur【答案】D【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得
DEDAEC+=
DEDAFD+=
uuuruuuruuur，故A正确；4
FDDAFA+=
（2）


uuuruuuruuuruuuruuurr，故B正确；根据平行四边形法则，可得
FFDDEEFFEE=++=+0
uuuruuuruuuruuur，故C正确，D不正确.故选：D.【跟踪训练】1.如图，已知向量
DEDADFEC+==
a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【答案】见解析【解析】　方法一　可先作
a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝
a，接着作向量AB＝＝，则得向量OcBa＋c，然后作向量BC＝＝，则向量OCba＋b＋　　　为所求．c　　　　　　①　　　　　　　　　　②方法二　三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点
O，作OA＝＝，aBOb；(2)作平行四边形
AOBC，则OC＝a＋b；(3)再作向量OD＝
c；(4)作平行四边形
＋ODE，则OE＝OCCc＝a＋b＋c.即OE即为所求.2．（2020·北京高二学业考试）在平行四边形
uuuruuur等于（ ）A．
ABCD中，
ABAD+
uuurB．uuur【答案】A【解析】根据向量加法的平行四边形法则可得
uuurD．
uuurC．
ACBCCD
BD
uuuruuuruuur，故选：A.3．（多选）（2020·全国高一）如图，在平行四边形
ABADAC+=
ABCD中，下列计算正确的是（ ）5
由


uuuruuuruuuruuurC．
uuuruuuruuurB．
ABADAC+=CACDDOOA++=
uuuruuuruuuruuurD．uuuruuuruuurr【答案】ACD【解析】由向量加法的平行四边形法则可知
ABADCDAD++=AACBAD++=0
uuuruuuruuur，故A正确；
ABADAC+=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，故B不正确；
ACCDDOADDOAOOA++=+=�
uuuruuuruuuruuuruuuruuur，故C正确；
DBADCDACCDAA++=+=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，故D正确
AACBADABAACDABCD=++=++=+0
.故选：ACD.4.化简(1)BC＋AB； (2)AO＋BC＋OB； (3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.(4)DB＋CD＋BC； (5)(AB＋MB)＋BO＋OM.【答案】（1）AC（2）AC（3）
r（4）（5）AB【解析】　(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.(2)AO＋BC＋rOB＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC.(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA＝AC＋CD＋DF＋FA＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.(4)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝BD＋DB＝0.(5)方法一　(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB.方法二　(AB＋MB)＋BO＋OM＝AB＋(MB＋BO)＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB＋0＝AB.方法三　(AB＋MB)＋BO＋OM＝(AB＋BO＋OM)＋MB＝AM＋MB＝AB.考法二 向量的减法运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在各小题中，已知
00
rr，分别求作rr．6
ab,
ab-
A．


rr的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，
ab,
uuurrr， (1) (2) (3) (4)【例22-2】．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：①
BAab=-
uuuruuuruuur；②
uuuruuuruuuuruuur.其中结果为
；③uuruuuruuuruuuruuuuruuuruuur；④
ABCBCA--
()
NQQPMNMP++-
CBACBDDA--+OAODAD-+
r的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①
0
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr；②
CAABCBCAABBCCAAC=--=++=+0
()
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruurruuuur；③
DABACBDCDABBDACCDADA=-+-=+-+=-0
()()
uuruuuruuuruuuruuurr；7
DOAODADDAA=-+=+0
【答案】见解析【解析】将


uuuruuuruuuuruuuruuuruuurr；以上各式化简后结果均为
NNQQPMNMPNPP=++-=+0
r,故选:D【跟踪训练】1．（2020·全国高一课时练习）如图，已知向量
0
rrrur，求作向量
rur．【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点
rr，
dabc,,,
ab-cd-
O，作
uuurr，uuurr，，uurruuuurur，则
AaO=bOB=cCO=ODd=
uuurrr，ruuurur．2.如图，已知向量
BAab=-DCcd=-
a，b，c，求作向量a－b－c.【答案】见解析【解析】在平面内任取一点
O，作向量OA＝＝aOB，b，则向量a－＝＝BA，再作向量BCbc8CA，则向量
④


a－b－3.c．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形
uuuruuuruuur（ ）A．
ABCDE中（如图），BABCDC+-=
uuurB．
uuurC．．uuruDuuur【答案】B【解析】
AC
ADBDBE
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur.故选：B4．（2020·全国高一课时练习）化简
ADBBCDCABBCCDA+-=++=
uuuruuuruuuruuur______.【答案】
ABCDACBD--+=
r【解析】
0
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr．故答案为：．5.化简（1）(AB－CD)－r(AC－BD) (2)OA－OD＋AD；(3)AB＋DA＋BD－BC－CA．【答案】（1）
AABCDACBDABBDDCC=--+=+++0
0
´´
0 （2）统（3）AB【解析】（1）方法一(0一成加法)　(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA＝AD＋DA＝0.方法二(利用OA－OB＝BA)　(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB－AC)－CD＋BD＝CB－CD＋BD＝DB＋BD＝0.方法三(利用AB＝OB－OA)　设
O是平面内任意一点，则(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(OB－OA)－(OD－OC)－(OC－OA)＋(OD－OB)＝OB－OA－OD＋OC－OC＋OA＋OD－OB＝0.(2)OA－OD＋AD＝OA＋AD－OD＝OD－OD＝0．(3)AB＋DA＋BD－BC－CA＝AB＋DA＋BD＋CB＋AC＝(AB＋BD)＋(AC＋CB)＋
DA＝AD＋AB＋DA＝9
＝


v表示为实数与向量v的积：（1）
ba
vv，；vv（2）
ae=3be=6
vv，；vv（3）
ae=8be=-14
vv，；vv（4）
21
ae=-be=
33
vv，．vv【答案】（1）
32
ae=-be=-
43
vv；（3））v；（v4vv．【解析】（1）
718
vv；（2）
ba=-ba=-ba=
ba=2429
vvv，vv；（2）
bee=�=632ba=2
vvv，vv；（3）
77
bee-�=-=148ba=-
44
vvv，vv；（4）
1121
bee�-==-()ba=-
3232
vvv，3v．【例v-2】（2020·全国高一课时练习）如图，
2838
bee�-=-=()ba=
3949
uuuruuurr
r为边的平行四边形，又
bOAaOB==,
OADB是以向量
11
uuuuruuuruuuur．10
r
r表示
DBMBCCNC，试用==,
ab,MNOMON,,
33
AD＋DA＋AB＝0＋AB＝AB．考法三 向量的数乘的运算【例3-1】（2020·全国高一课时练习）把下列各小题中的向量


uuururruuuruuuurr
51r，22，r11r【解析】
OMab=+ONab=+MNab=-
663326
uuuruuuruuuruuur
r
14222r
QBaCNCDONOCObOA+==\==+)(,
33333
11
QBBMBCBAM=\=,,
36
uuuuruuuruuuuruuuruuuruuurr
115r
+-+=\=BMOBOAOBOMOB()=+ab
666
uuuuruuuruuuurr
11．（【跟踪训练】1r2020·全国高一课时练习）计算：（1）
\=-=-MbNONOMa
26
v；（2）
(3)4-�a
vvvvv；（3）
3()2()ababa+---
vvvvvv．【答案】（1）
)23)(32(cababc+---+
）；（2vv；（3）vvv.【解析】（1）原式
-21a5b-+-bca52
vv；（2）原式
-�-==(21)43aa
vvvvvv；（3）原式
=-=+-+53223baabab
vvvvvvvvv．2．（2020·全国高一课时练习）化简：11
=---+-+-=+252332cbcbacbaa
【答案】


vv
vv；（2）
522423abba-+-
()()
vv
vvvv；（3）
346cabcab-+--+-
()()
vv
11
��；vvv（4）
32569abaab-+--
()()
��
23
��
vv
vv.【答案】（1）
byabxyax-+---
()()
()()
v
1
v；（4）
v【解析】（1）
vv
3ab+
v；（2）vv；（3）
2()xyb-
--22ab010212abc-+2
rrrrrrrrrr.（2）
522423101081222bbbaabbaaa-+-=-+-=--
()()
rrrrrrrrrrrrrrr.（3）
6346186444102210cbcabcabaabcabc-+--+-=-++-+=-+
()()
rrrrrrrrrrrr.（4）
111511
��
3256932693bbaabaaaabab-+--=-+--=+
()()()()
��
232262
��
rrrrrrr.3．（2020·全国高一课时练习）如图，解答下列各题：（1）用,,adevvv表示
bxyabxyabxyxyaxyxybxy--+---=--++-+-=2
()()()()()
()()
uuuv；（2）用
DB
uv
v表示uuuv；12
bc,
DB
（1）


v
uuuv；（4）用
vv表示
abe,,
EC
v
uuuv．【答案】（1）
v表示
dc,
EC
uuuvvuuuvvvuuuvuuuvv
）v．（2vv．（3））v．（4vv．【解析】由题意知，
DBdea=++DBbc=--bCeaE=++ECcd=--
uuurr，，uuurruuurr，，uururuuuurr，则（1）
ABa=BCb=CDc=DEd=EAe=
uuuruuuruuuruuururrr．（2）
aBDEEAABdeD=++=++
uuuruuuruuuruuuruuurrr．（3）
cBCBCDBCCDbD=-=--=--
uuuruuuruuuruuurrrr．（4）
bCEAABBCeaE=++=++
uuuruuuruuuruuurrur．考法四 向量的共线定理【例4-1】（2020·全国高一课时练习）判断向量
cdECCECDDE--=-=-+=)(
uv,uvu是两个非零不共线的向量):(1)
vv是否共线(其中
ee
ab,
12
uvuvv
v;(2)
eaeb==-3,9
11
vuvuuvvuvuuv;(3)
11
beeaee--==23,
1212
23
uvuuvuvuuvv
v.【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.【解析】(1)∵
beeaee+-==33,
1212
rurrur,∴
rr共线.(2)∵
rr,∴
eaeb==-3,9
ab,
11ba=-3
ruruururuur,∴
ruruu