§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点ωx＋φ0π2πxy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．思考辨析


判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　√　)(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)教材改编题1．为了得到函数y＝sin的图象，只要把y＝sin 3x的图象(　　)A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度答案　C2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变答案　D3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,00，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1　(1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f(x)＝sin.下列结论正确的是(　　)A．f(x)的最小正周期为2πB．f 是f(x)的最大值C．把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象D．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象答案　AC解析　T＝＝2π，故A正确．当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故B错误．y＝sin x的图象―――――――――――――――――――――――――――――→y＝sin的图象，故C正确．f(x)＝sin图象上所有点的――――――――――――――――――――――――――――――――――→g(x)＝sin的图象，故D错误．(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)A．3 B．6 C．9 D．12答案　D解析　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，故为函数y＝sin的周期，即＝(k∈N*)，则ω＝12k(k∈N*)，


湖已知函数)一中模拟f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b的大致图象如图所
示将函数f，(x)的图象上点的横坐标拉为原来的3伸倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单
调递增区Z(　　)A.(k∈Z)B.(k∈间为)C.(k∈Z)D.(k∈Z)答案　C解析　依题意，解得故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，而f ＝1，f ＝－1，∴＝－＝，故T＝π＝，则ω＝2；∴2cos－1＝1，故＋φ＝2kπ(k∈Z)，又|φ|0，ω>0,00，ω>0)的
步骤和，(1)求A方法b.确定函数的最大值M和
最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点
代入(此时要注意该升在上点区间上还是在下
降区间上)或把图象的最高点或最低点代入(2跟踪训练2　(1)．020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝cosB．f(x)＝cosC．f(x)＝cosD．f(x)＝cos答案　B解析　由图象知π0，当k＝－1时，t取最小值6.题型三　三角函数图象
、性质的综合应用命
题点1　图象与性质的综例合应用3　(2022·衡阳
模拟)若，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π且(长度后所得图象对应的函数g其图象向左平移个单位x)为
偶　　f(x)的图象(函数，则)A．关于直线x＝对称B．关于点对称C．关于直线x＝－对称D．关于点对称答案　D解析　依题意可得ω＝＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin，又函数g(x)为
偶φ所以＋函数，＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，
________，为了得到


排除B，当k＝1时，－＋＝，故D正确．命
2　函数题点零点(方程n)问题例4　已知关于x的方程2si根2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数
根，则m的取值范围
是____________．答案　(－2，－1)解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可
转m＝1－化为2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，∴题
目条件可转有两个不同的实数sin t，化为＝∈t根．∴y＝
和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象
观察知，的取值范围是，故m的取值
范围(－2是，－1)．延
伸探究本　例中，若将“有两个不同的实数实”改成“有根根”值，则m的取范围答案　_____．是[－2,1)解析　同例题知，的取值
范围m∴－2≤是，90，所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，故D不正确．教师备选(多选)(2022·福州
模拟)如图所示米一半，为4径的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水秒逆轮每60
时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现开(图中点P时0)始计(　　)时，则A．点P第
一次到达最高2点需要0秒B．当
水轮转动15秒5距离时，点P水面2米C．当
水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米D．点P距离
水面的高h度(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2答案　ABC解析　设点P距离
水面的高h度(米)和时间t(秒)的函数解析式为
A．


代入h＝4sin＋2，解得h＝2，故B正确；对于C，令t＝50，
代入h＝4sin＋2，解得h＝－2，故C正确．思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的
性质可将ωx时＋φ视为个一整体，利用换元法和数形结合思
想进行解题．(2)方程
根的个数可转化为两个函数图象的交(3)点个数．三角函数模型的应用体
现在两方面解一是已知函数模型求：数学问题；二是把实际问题抽
象转跟踪训练3　(1)化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．(多选)(2022·青岛
模拟)已知函数f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ的图象的一个对称中心为，则下列
说＝(　　)A．直线x法正确的是π是函数f(x)的图象的一
条B．函数f对称轴(x)在上单
调递2C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 减x的图象D．函数f(x)在上的最小值为－1答案　ABD解析　∵f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵00)个单位长度，得到函数g(x)的图象．
若_g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为_______函数．(答案不唯))答案　解析　将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得g(x)＝cos(2x＋2φ一，由函数g(x)的图象关于原点对称，可得g(0)＝cos 2φ＝0，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.8．(2022·济南
，拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1模首要把C2上各点的横坐标变为原来的先________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
至少_____平移_个单位长度．(本
题所填数字)答案　要求为正数2　解析　∵曲线C1：y＝cos x＝sin＝sin，∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线y＝sin向右
至少9．已知函数f(x)＝A平移个单位长度．sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，
且＝时，x当f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作
出f(x)在[0，π]上的图象(要列()；表3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经
过怎样的变换得到？解　(1)因
为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又
因(x＝时，f为当x)取得最大值2，所以A＝2，同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，φ＝2kπ＋，k∈Z，因
为－0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为
奇_ω的最小值是___函数，则____．答案　解析　f(x)＝cos ωx－sin ωx＝－2sin，图象向左平移个单位长度得，g(x)＝－2sin，g(x)为
奇则－＝k函数，π，k∈Z，解得ω＝＋k，k∈Z，所以ω的最小值为.14．
据市场调查，某种商品一年内每件出价厂元在7千的基础上，月呈按f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型
波为(x动份)月，已知3月份达到最元价9 00高0，9月份价格最低 为5，000元，则7月份
的出厂价格___为_____元．答案　6 000解析　作
出函数简图如图．三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝×(9 000－5 000)＝2 000，
对于B，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单


第二个特殊则有×3＋φ＝，点，∴φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)．故7月份
的出厂价格06 00为