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第22章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质 同步训练题1. 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是( )A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大2．有抛物线①y＝－3x2，②y＝x2，③y＝x2，它们的开口由大到小的顺序是()A．②＞③＞① B．①＞②＞③ C．①＞③＞② D．②＞①＞③3. 如图，一座拱桥形状为抛物线，其函数解析式为y＝－x2.当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度h是( )A．3m B．2m C．4m D．9m4. 若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2,4)，则该图象必经过点( )A．(2,4) B．(－2，－4) C．(－4,2) D．(4，－2)5. 关于函数y＝3x2的性质表述正确的是( )A．无论x为任何实数，y的值总为正B．当x值增大时，y的值也增大C．它的图象关于y轴对称D．它的图象在第一、三象限6. 已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )7．已知抛物线y＝ax2开口向下，则当x1＞x2＞0时，对应的函数值y1与y2的大小关系为 .8．已知二次函数y＝(k－1)xk2－3k＋2的图象开口向上，则k＝ .9．已知点(x1，－7)和点(x2，－7)(x1≠x2)均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1＋x2时，y的值是 .10. 抛物线y＝－5x2的开口向 ，对称轴是 轴，图象有最 点．11．抛物线y＝x2与y＝－x2的形状 ，开口方向 ，它们关于 轴对称．12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－2)，则抛物线的解析式为 .第 1 页
13. 已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？14. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，桥下水面宽度为20m，水位上升3m就到达警戒线CD，这时桥下水面宽度为10m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式及B、D两点的坐标；(2)若洪水到来时水位以0.2m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时水就能到达桥面？15. 已知y＝(m－3)xm2－3m－2为x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)当m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)当m为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？16. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(2)求此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．17. 一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)指出图象的形状，当x＞0时，y随x的变化情况；(4)指出函数的最大值或最小值．18. 如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高4m(最高点到地面的距离)，把它放在平面直角坐标系中，其解析式为y＝－x2.(1)求城门洞最宽处AB的长；(2)现在有一高2.6m，宽2.2m的小型运货车，问它能否安全通过此城门？第 2 页
参考答案：1---6 BADAC C7. y1＜y2 8. 39. 010. 下 y 高11. 相同 相反 x12. y＝－x213. 解： (1)由题意得解得∴m＝2或m＝－3.(2)依题意得m＋2＞0，即m＞－2，∴取m＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x＞0时，y随x的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，即m＜－2，∴取m＝－3.14. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D点的横坐标为5，B点的横坐标为10，EF＝3.设OE＝h，则OF＝h－3，则B(10，－h)，D(5,3－h)．设抛物线的关系式为y＝ax2，则解得，∴y＝－x2，B(10，－4)，D(5，－1)．(2)由(1)知OE＝4,4÷0.2＝20(h)，∴再过20小时水就能到达桥面．15. 解：(1)由题意得：解得m＝－1或4即m的值为－1或4(2)当m＝－1时，抛物线有最高点(0,0)；当x＜0时，y随x的增大而增大．第 3 页
(3)当m＝4时，函数有最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．16. 解：由已知得a＝－2，故y＝－2x2；(1)当x＝－1时，y＝－2×(－1)2＝－2≠－4，故(－1，－4)不在此抛物线上．(2)(－，－6)(，－6)17. 解：(1)设此二次函数的解析式为y＝ax2，把点(－1，)代入y＝ax2中得：＝a×(－1)2，∴a＝，∴此二次函数的解析式为y＝x2.(2)图象略．(3)图象的形状是抛物线，当x＞0时，y随x增大而增大．(4)函数有小值0.18. 解：(1)∵点O到AB的距离为4m，∴A、B两点的纵坐标都为－4，∴－4＝－x2，x＝±2∴A(－2，－4)，B(2，－4)∴AB＝4即城门洞最宽处AB的长为4m.(2)如答图所示，设小货车行驶到城门洞正中，用矩形CDEF表示小货车的横截面，则E、F到AB的距离均为2.6m，F点的横坐标为1.1，设CF的延长线交抛物线于G，G点的横坐标为1.1，纵坐标为－1.12＝－1.21，G到AB的距离为4－|－1.21|＝2.79＞2.6，所以小货车能安全通过此城门.第 4 页
13. 已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值．(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？14. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，桥下水面宽度为20m，水位上升3m就到达警戒线CD，这时桥下水面宽度为10m.(1)建立适当的坐标系，求抛物线的关系式及B、D两点的坐标；(2)若洪水到来时水位以0.2m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时水就能到达桥面？15. 已知y＝(m－3)xm2－3m－2为x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)当m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)当m为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？16. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(2)求此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．17. 一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(－1，)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)指出图象的形状，当x＞0时，y随x的变化情况；(4)指出函数的最大值或最小值．18. 如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高4m(最高点到地面的距离)，把它放在平面直角坐标系中，其解析式为y＝－x2.(1)求城门洞最宽处AB的长；(2)现在有一高2.6m，宽2.2m的小型运货车，问它能否安全通过此城门？第 2 页
参考答案：1---6 BADAC C7. y1＜y2 8. 39. 010. 下 y 高11. 相同 相反 x12. y＝－x213. 解： (1)由题意得解得∴m＝2或m＝－3.(2)依题意得m＋2＞0，即m＞－2，∴取m＝2.∴这个最低点的坐标为(0,0)．当x＞0时，y随x的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2＜0，即m＜－2，∴取m＝－3.14. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D点的横坐标为5，B点的横坐标为10，EF＝3.设OE＝h，则OF＝h－3，则B(10，－h)，D(5,3－h)．设抛物线的关系式为y＝ax2，则解得，∴y＝－x2，B(10，－4)，D(5，－1)．(2)由(1)知OE＝4,4÷0.2＝20(h)，∴再过20小时水就能到达桥面．15. 解：(1)由题意得：解得m＝－1或4即m的值为－1或4(2)当m＝－1时，抛物线有最高点(0,0)；当x＜0时，y随x的增大而增大．第 3 页
(3)当m＝4时，函数有最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．16. 解：由已知得a＝－2，故y＝－2x2；(1)当x＝－1时，y＝－2×(－1)2＝－2≠－4，故(－1，－4)不在此抛物线上．(2)(－，－6)(，－6)17. 解：(1)设此二次函数的解析式为y＝ax2，把点(－1，)代入y＝ax2中得：＝a×(－1)2，∴a＝，∴此二次函数的解析式为y＝x2.(2)图象略．(3)图象的形状是抛物线，当x＞0时，y随x增大而增大．(4)函数有小值0.18. 解：(1)∵点O到AB的距离为4m，∴A、B两点的纵坐标都为－4，∴－4＝－x2，x＝±2∴A(－2，－4)，B(2，－4)∴AB＝4即城门洞最宽处AB的长为4m.(2)如答图所示，设小货车行驶到城门洞正中，用矩形CDEF表示小货车的横截面，则E、F到AB的距离均为2.6m，F点的横坐标为1.1，设CF的延长线交抛物线于G，G点的横坐标为1.1，纵坐标为－1.12＝－1.21，G到AB的距离为4－|－1.21|＝2.79＞2.6，所以小货车能安全通过此城门.第 4 页
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