七章勾股定理第1课时　17.1　勾股定理


【基础梳理】勾股定理1.如图每个小方格都是边长为1的小正方形,则正方形A的面积是__,正方形B的面积是___,正方形C的面积=边长为7的正方形与4个直角边为_____的直角三角形的面积差为___.9163和425




2.如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么________.a2+b2=c2


【自我诊断】(1)直角三角形的两直角边长为1.5,2,斜边长一定是2.5.　( )(2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10.　( )√×


(3)若a,b,c是直角三角形的三边长,那么a2+b2=c2.　 ( )×


(4)等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为　( )A.7B.6C.5D.4C


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为.
(5)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长


知识点一利用勾股定理求(直角)三角形的边长或高【示范题1】在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.







【微点拨】正确理解勾股定理的三个方面(1)适用的条件:只有在直角三角形中才能用勾股定理.(2)解决的问题:勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系,已知两边长,可求第三边的长.


(3)注意的问题:直角三角形中已知的两边没有明确是直角边还是斜边时,必须分类讨论,不能漏掉一种情况.


知识点二勾股定理与图形面积【示范题2】(2017·武昌区月考)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm,B的边长为5cm,C的边长为5cm,则正方形D的边长为　(　　)



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A. cmB.4 cmC. cmD.3 cm


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【自主解答】选A.∵SA=6×6=36(cm2),SB=5×5=25(cm2),SC=5×5=25(cm2),∵SA+SB+SC+SD=10×10,∴36+25+25+SD=100,∴SD=14,∴正方形D的边长为 cm.


　利用面积关系可以证明勾股定理,反过来可以利用勾股定理解决与面积有关的问题,解题关键是将一个大正方形的面积转化为四个较小正方形的面积,要认真体会勾股定理在这类面积问题中的作用.
【微点拨】


知识点三勾股定理的证明【示范题3】如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.



(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.


【思路点拨】方法一(补拼法):可用四个三角形和正方形补拼成一个边长为a+b的大正方形,分别用两种方法表示大正方形的面积,列出等式,化简即得勾股定理.


方法二(叠合法):通过叠合将四个三角形叠合在边长为c的正方形内,分别用两种方法表示边长为c的正方形的面积,列出等式,化简即得勾股定理.


【自主解答】方法一(补拼法):(1)如图所示:


1
1
2
2
(2)因为大正方形的面积表示为(a+b)2,大正方形的面积也可表示为c2+4× ab,所以(a+b)2=c2+4× ab,所以a2+b2+2ab=c2+2ab,所以a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.


方法二(叠合法):(1)如图所示:


1
1
2
2
(2)因为大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为 ab×4+(b-a)2,所以c2= ab×4+(b-a)2,c2=2ab+b2-2ab+a2,所以a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.


【备选例题】用四个相同的直角三角形(直角边为a,b,斜边为c),拼成如图所示的图形.问题:观察图,你能通过验证得到:a2+b2=c2吗?


【解析】其实,可以转化为下面两图:


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2
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②两图,可得a2+b2+2× ab=c2+2× ab, a2+b2=c2.
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图①的面积可表示为:a2+b2+2× ab,图②的面积可表示为:c2+2× ab,比较①,


【微点拨】证明勾股定理的三个步骤(1)读图:观察整个图形是由哪些图形拼接而成,图中包括几个直角三角形,几个正方形,它们的边长各是多少.(2)列式:根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和,列出关于直角三角形三边长的等式.


(3)化简:根据整式的运算化简等式,得出勾股定理.


【纠错园】已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,求边BC的长.