Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为
√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　)A.2　　　　B.2
√2C.4D.42答案　B√　设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π·
√2,∴l=2
√2.故选B.易错警示　1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式.2.(2020课标
Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)A.
5−15−15+15+1
√√√√
B.C.D.
424答案　C如图,设正四棱锥的底面边长BC=2a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=
√ℎ2−a24,成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 专题八　立体几何8.1　空间几何体的表面积和体积考点一　空间几何体的结构特征1.(2021新高考


2
a
4,一个侧面三角形面积为12ah,∴h2-a24=12ah,∴4h2-2ah-a2=0,两边同除以a2可得4
2
ℎℎ
−2·
()
aa-1=0,解得
ℎ1±5
√
=
aℎ,又∵4a>0,∴
ℎ5+1
√
=
ah.故选C.解题关键　利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a与侧面等腰三角形底边上的高4之间的关系是求解本题的关键.考点二 空间几何体的表面积与体积1.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:平地降雨量(mm)0~1010~2525~5050~100降雨等级小雨中雨大雨暴雨如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是(　　)A.小雨　　　　B.中雨　　　　C.大雨　　　　D.暴雨成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 ∴以|PO|为边长的正方形面积为h2-


1
3π×502×150=125 000π(mm3).所以24小时内降水在平地上的积水厚度为
125000π
2=12.5(mm),所以这24小时降雨的等级是中雨,故选B.2.(2022新高考
π×100
Ⅰ,4,5分,应用性)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(
√7≈2.65)(　　)A.1.0×109 m3　　　　B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3　　　　D.1.6×109 m3答案　C　140 km2=140×106 m2,180 km2=180×106 m2,由棱台体积公式V=
1
√SS')h可得V增加水量=
3(S+S'+
1
7)×106≈3×(320+60×2.65)×106=1 437×106≈1.4×109(m3),故选C.3.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为(　　)A.
√140×180)×106×(157.5-148.560=3×(320+)√
3×(140+180+
√2√3√2√3
B.C.D.
12124:答案　A　解题指导4本题的关键点为O到平面ABC的距离的求解.先
求出小圆(△ABC的外接圆)的半径,通
过球半径和小圆半径,结合勾股定理得出O到平面ABC的距离,然后利用体积公式得出结群.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ果552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 答案　B　命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为r mm,由题意得r100=150300,所以r=50,则容器内的雨水的体积V=


斜BC,又知AC=边的直角三角形=1,∴AB=
√2,∴Rt△ABC的
析　如图所示,由AC⊥BC可知,△ABC是以AB为
AB√2
=
外AB的中点O1,接圆圆心为半径r=OO1,∵点O为球心,∴OO1⊥平面ABC,接即OO1的长为O到平面ABC的距离.在Rt△OO1B中,OB=1,O1B=
22,连
√2
2,∴OO1=
√22√22,∴VO-ABC=13×12×12×
()2=
√12−
√22=.212√故选A.易错警示　牢
1
记锥体的体积公式中的“
3”.易错选C.4.(2022新高考
上、下底面边长分,7,5分)已知正三棱台的高为1,Ⅱ别为33和4顶点都.同一球面上,则该球的表面积为(　　)A.100π　　　　B在128π　　　　C.144π　　　　D.192π答案　A　设正三棱台为A'B'C'-ABC,△A'B'C',△ABC的
√√3,其
外心分别D为',D,则A'D'=3,AD=4,又知D'D=1,所以正三棱台的
外接球球心在线段D'D的延,设球心为O,长线上半径为R,如图所示,在Rt△A'D'O中,R2=32+(DO+1)2①,在Rt△ADO中,R2=42+DO2②,由①②得R=5,所以该球的表面积为4π×52 =100π,故选A.5.(2022新高考
Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若36π该球的体积为,且3≤l≤3
取值范围(是　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
√3,则该正四棱锥体积的
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[18,814]B.[274,814]C.
[274,643　　　　D.[18,27]]答案　C　如图,S-ABCD是正四棱锥,连
接AC,BD,交
于点O,设正方形ABCD的边长为a,SO=h,SE是外,则SE=2R=6.由AO2=SO·OE,接球的直径得a22=h(6-h),又l2=a22+h2,∴l2=6h,∴h=
2
l
6.则a2=2h(6-h)=
22
ll
6−
(,∴正四棱锥的体积V=13a)2ℎ=13·l23
36
(6−l26·l26=19l4−l6324,)∴V'=49l3−l554,令V'=0,得l=2
√6.V在[3,2
单调递2,在增(3]上单调递减,而l=3时,V=
√6)上√6,3√
2781
√3时,V=6时√,V=643,∴该正四棱锥体积的
4,l=34,l=2
取值范围是
[274,643].6.(2022全国
四棱锥的,理9,文12,5分)已知球O的半径为1,乙顶点为O,底面的四个顶点均在球则的球面上,O
当该四棱锥的体积最,其高为(　　)A.大时13B.12C.
√33D.122成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群5525√1468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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且的面积α1=α2仅当=α3=α4=π2时,四边形ABCD最最,大大为r2,此2时四边形ABCD为正方形.在△OO1C中,设高OO1=h,则h=
22O,V四棱锥2-ABCD=
R−r=1−r
√√
1
√1−r2(00,则f(t)单
调时,∴t=23递减, f(t)取
(23,1时, f ')(t)0,解得0|=
¿
¿
¿,∴a=1,即AO=1.∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×12×1×
√36,故三棱锥A-BCD的体积为
√3×1=
3
√
6.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
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