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ab＜ B.>
§1.3　等式性质与不等式性质考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法 (a，b∈R)2．等式的性质性质1　对称性：如果a＝b，那么b ＝ a；性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a ＝ c；性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.3．不等式的性质性质1　对称性：a>b⇔b b，b>c⇒a > c；性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc；a>b，cb，c>d⇒a ＋ c > b ＋ d；性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论1．若ab>0，且a>b⇔b>0，m>0⇒a>0，m>0⇒>.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则b>a.(　×　)(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)(4)若>，则ba>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)A．


1
2
x在(0，＋∞)上单调递增，所以
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ab，A正确；因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以>，B正确；因为－＝>0，所以>，C正确；当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确．2．已知M＝x2－3＜x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．答案　M>N解析　M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N.3．已知－1q D．p≥q答案　B解析　p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·＝＝，因为a0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－qb>c B．c>a>bC．c>b>a D．a>c>b答案　C
C.> D．ac30)，当x>e时，f′(x)0，f(x)＝单调递增，因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)N解析　方法一　M－N＝－＝＝＝>0.∴M>N.方法二　令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.思维升华　比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1　(1)已知0N B．M0,1＋b>0,1－ab>0.


∴M－N＝＋＝>0，∴M>N.(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．答案　eπ·πeb，则ac2>bc2B．若aa>b>0，则b>c>0，则>答案　D解析　对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a＝，故C选项为假命题；对于D选项，由于a>b>c>0，所以－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．(2)(多选)若0C．a－>b－ D．ln a2>ln b2答案　AC解析　由0，所以0.故有－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b－>0，所以a－>b－，故C正确；D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．教师备选若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　　)A.b2C．a|c|>b|c| D.>答案　D解析　对于A，若a>0>b，则>，故A错误；对于B，取a＝1，b＝－2，则a20，又a>b，所以>，故D正确．思维升华　判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2　(1)(2022·珠海模拟)已知a，b∈R，满足ab0，a>b，则(　　)A.0C．a2>b2 D．ab，则a>0，b0，0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)(多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是(　　)A.>B．bac>abcC．(1－c)aloga(b＋c)答案　CD解析　由题意知，a>b>1>c>0，所以对于A，ac>bc>0，故b，所以(1－c)ab＋c>1，所以logb(a＋c)>logb(b＋c)>loga(b＋c)，故D正确．题型三　不等式性质的综合应用例3　(1)已知－10，即0b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　　)A．－3b>c,2a＋b＋c＝0，所以a>0，cb>c，所以－2a－c－c，解得>－3，将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，即a，∴0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)A．M>NB．Mb2，故A不成立；若则a2b，故D不成立，由不等式的性质知，C正确．3．已知－31，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　)A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n答案　B解析　由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，即2a>a＋1，∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝logax在定义域上单调递增，∴m>p>n.5．(2022·杭州模拟)若a0B．2b－a>1C．－>－D．logca>logcb(c>0且c≠1)答案　C解析　指数函数y＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，由ab>0.所以－，故C正确；a－b>0，但不一定有a－b>1，则不一定有ln(a－b)>0，故A错误；函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，b－ay>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)A．xy>yz B．xy>xzC．xz>yz D．x|y|>|y|z答案　ACD解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以x>0，z0>z，若yz，x>0，所以xy>xz，故B正确；对于C，因为x>y，zz，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误．7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有(　　)A．c2＜cd B．a－c＜b－dC．ac＜bd D.－＞0答案　AD解析　因为a＞b＞0＞c＞d，所以a>b>0,0>c>d，对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2b>0，d，故－＞0，故选项D正确．8．(多选)若0c>1，则(　　)A.a>1 B.>C．ca－1c>1，∴>1.∵00＝1，故选项A正确；对于B，若>，则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0c>1矛盾，故选项B错误；对于C，∵0c>1，∴ca－1>ba－1，故选项C错误；对于D，∵0c>1，∴logca”“解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，故M>N.10．(2022·烟台模拟)若|b|；③a2.其中


正确的不等式的序号为________．答案　①④解析　因为0，>0且均不为1，＋≥2＝2，当且仅当＝＝1时，等号成立，所以＋>2，故④正确．11．若01且2a1－＝，即a2＋b2>.∵x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故
女学生人6.②数的最大值为x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，
此z＝3，时y＝4.∴该
小组人数的最小值为12.
又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，∴b>a.而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b，从而c≥b>a.14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋dd>c>a解析　由题意知d>c①，②＋③得2a＋b＋dd⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．答案　解析　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c－>，即1>－1－>.所以解得－2<<－.即的取值范围为.16．某学习小组由学生