5.6《函数y＝Asin（ωx＋φ）》【学习过程】一、自主学习知识点一：A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响1．φ对函数y＝sin（x＋φ）图象的影响2．ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的影响3．A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响（1）A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．（2）ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．（3）φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．（4）由y＝sinx到y＝sin（x＋φ）的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．知识点二：函数y＝Asin（ωx＋φ），A>0，ω>0的有关性质1．定义域：R．2．值域：[ － A ， A ] ．3．周期性：T＝．4．对称性：对称中心，对称轴是直线x＝＋（k∈Z）．5．奇偶性：当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数．6．单调性：通过整体代换可求出其单调区间．　研究函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的基本策略（1）借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数． 1 / 10


（2）整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．教材解难：1．教材P231思考筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t．如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过ts后运动到点P（x，y）．于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝rsin（ωt＋φ）①所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是H＝rsin（ωt＋φ）＋h．②2．教材P232思考（1）能．（2）可以先按φ再按ω，最后按A的顺序研究．基础自测：1．利用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象时，所取的五点的横坐标为（ ）A．0，，π，，2πB．0，，，，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，，，，解析：令x＝0，，π，，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π．答案：C2．将函数y＝sinx的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）A．y＝sinx＋B．y＝sinx－C．y＝sinD．y＝sin解析：y＝sinx――→y＝sin．答案：C3．函数f（x）＝sin图象的一条对称轴方程为（ ）A．x＝－B．x＝C．x＝D．x＝π解析：对于函数f（x）＝sin，令x＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝kπ＋，k∈Z，可得它的图象的一条对称轴为x＝，故选B．答案：B4．将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到函数________的 2 / 10


图象．解析：将函数y＝sin3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得，函数y＝sin（3×3x）＝sin9x的图象．答案：y＝sin9x二、素养提升题型一：作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象[教材P237例1]例1：画出函数y＝2sin（3x－）的简图．解析：先画出函数y＝sinx的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin的图象，如图1所示．下面用“五点法”画函数y＝2sin在一个周期内的图象．令X＝3x－，则x＝，列表，描点画图（图2）X0π2πxy020－20画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象一般有2个方法．法一：先画y＝sinx，然后按φ，ω，A的顺序依次画出图象．法二：五点法作图，按列表，描点，连线的步骤画图．方法归纳：五点法作图五点法作函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）图象的步骤．（1）列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的（x，y）值．（2）描点． 3 / 10


键是明确移右平左的方向和平移量的及横纵坐标伸缩以量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式
也不同，这点应特别注意，否则就会出错跟踪训练．2：由函数y＝cosx的图象如
何2cy＝－得到函数os2x＋＋2的图象．解析：y＝－2cos＋2＝2cos＋2＝2cos＋2． 4 / 10
（3）连线得函数在一个周期内的图象．（4）左右平移得到y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的图象．跟踪训练1：已知函数y＝2sin．试用“五点法”画出它的图象．解析：令t＝＋，列表如下：x－t0π2πy020－20描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：→→题型二：三角函数的图象变换例2：由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象．解析：方法一：y＝sinx的图象――――――――→y＝2sinx的图象y＝－2sinx的图象y＝－2sin2x的图象y＝－2sin的图象――――――→y＝－2sin＋1的图象．方法二：y＝sinx的图象y＝sin的图象y＝sin的图象―――――――→y＝－sin2x－的图象――――――――→y＝－2sin的图象――――――→y＝－2sin＋1的图象．本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．方法归纳：解决三角函数图象变换问题的关


但得到的结果是一致
的．题型三：三角函数解析式例3：如图所示，它是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，－π0，ω>0）的
零点有上升零点和下降零最点一般取，靠近原点的上升零x点0，令ωx0＋φ＝2kπ；下
降零，再x0，使ωx0点φ＝π＋2kπ＋根据φ的范围确定φ的值．特别注意，求φ值时最值点法优3．跟踪训练先：函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）A>0，ω>0，－0，ω>0，|φ|0，ω>0）：调区间的法单采用“换元换法整体代”，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间
而出函数的单调区间求．若ω0）的图象时若由y＝sinx的图象变换为先y＝sinωx的图象，再由y＝sinωx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）的图象，则左右平移个单位长度，很多人都
直接|φ左右平移|个单位长度，从而导致错误．三、学
业达标（一）选
择i1．将函数y＝s题n2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（ ）A．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．f（x）的最小正周期为C．y＝f（x）的图象关于点对称D．f（x）在上单调
递增解析：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sinx，即f（x）＝sinx． 7 / 10
1．与正弦、


正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，所以A不对．周期T＝2π，所以B不对．对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z，所以C不对．单调
递增k∈Z区间为，，所以f（x）在上单调递增＝答案：D2．将函数y．sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列
说法正确x是（）A．y＝f（的）是奇函数B．y＝f（x）的周期为πC．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）的图象关于点对称解析：函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后，得到函数f（x）＝sin＝cosx的图象，f（x）＝cosx为偶函数，周期为2π；
又因0f＝cos＝为，所以f（x）＝cosx的图象不关于直线x＝对称；由f＝又cos＝0，知f（x）＝cosx的图象关于点对称．故选D．答案：D3．已知ω>0,00）的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．解析：依题
意知＝－＝，所以T＝π，T＝＝π，得ω＝2．答案：27．如图所示的曲线是又y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的一
部________分，则这个函数的解析式是．解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2． 8 / 10
根据


点是五点法作图的最大值点，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z．故所求函数的解析式为y＝2sin．答案：y＝2sin（三）解答题8．已知函数y＝sin＋1．（1）用“五点法”画出函数的
草（2）函数图象可由y图；＝sinx的图象怎样变换得到
？解析：（1）列表．2x＋0π2πx－y12101描点连线如图所示．将y＝sin＋1在上的图象向左（右）平移kπ（k∈Z）个单位，即可得到y＝sin＋1的图象．（2）y＝sinxy＝siny＝siny＝sin＋1．9．函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一
段如图所示，试确的值．A，ω，φ定解析：有两种方法．法一：由图象可知振幅A＝3．又
周期T＝－＝π，∴ω＝＝＝2．由于图象过点，∴－×2＋φ＝kπ，φ＝＋kπ（k∈Z），而|φ|<，∴φ＝．法二：由图象知T＝π，A＝3，∴ω＝＝＝2，且图象过，可知图象由y＝sin2x的图象向左平移＋kπ个单位长度得到，∴y＝3sin，即y＝3sin． 9 / 10
又


已知|φ|<，∴φ＝． 10 / 10
又