第三节　平面向量的数量积及其应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.


1．平面向量数量积的有关概念


2．平面向量数量积的性质及其坐标表示


3．平面向量数量积的运算律交换律a·b＝_____结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·cb·a


(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0.(2)有关向量夹角的两个结论①两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；②两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．




．钝角三角形D．等腰三角形
2．已知△ABC三顶点为A(－1，－4)，B(5,2)，C(3,4)，则△ABC是(　 )A．锐角三角形 B．直角三角形C


3．已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，则(a＋b)·(2a－b)＝________.答案：－15．(2021·北京高考)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________.答案：0　3










[一“点”就过]计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量数量积的几何意义．






3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　 )A．－6 B．－5 C．5 D．6


4．(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝______.5．(2021·全国甲卷)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝______.






[方法技巧]解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．　　










[方法技巧]　解平面向量中有关最值问题的思路形化利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断数化利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决


解析：设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]．因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0.整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.
















(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围是________．






“课时验收评价”见“课时验收评价(三十二)” (单击进入电子文档)