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第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．其中判断为 的语句叫做真命题，判断为 的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系判断真假真假
3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有 的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则相同
A)，与充的A分不必要条件是
B(B⇒A且者 B)两A的不同．(4)A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．(5)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)．
(1)四种命题的等价关系：原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时往往找等价命题进行证明．(2)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(3)区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
1．下列命题是假命题的有( )A．三角形角平分线上的点到角的两边距离相等B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案：B
．逆否命题D．否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．答案：B 3．设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C
2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题 B．否命题C
4．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点 四种命题及其真假判断 [题点全训]1．(2023·合肥模拟)设x，y∈R，命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是( )A．若x2＋y2≤2，则x2≤1或y2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案：C
．若知春暖，必经冬寒D．不经春暖，必历冬寒解析：“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”．故选C.答案：C
2．(2023·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案：D3．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是( )A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖C
4．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确命题的序号是________．
[一“点”就过]判断命题真假的2种方法直接判断判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当直接判断一个命题的真假不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假提醒(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提
．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2023·福建高三阶段练习)在四边形ABCD中，AB∥CD，则“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充要条件D．既不充分也不必要条件
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 充分、必要条件的判断 [典例] (1)(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
(2)若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件．故选D.[答案] (1)A (2)D
什么、结论是么什集合法利
用集合中包含思想判定．以住“抓小推大”的技巧，即小范围推
得大范围，即可解决充分必要性的问题
[方法技巧] 判断充分、必要条件的2种方法定义法直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是
对训练]1．(2019·浙江高考)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[针
模拟)设α：2a0；条件q：x2＋3x－4m＋3}，Q＝{x|－40，则a>0”，则它的否命题是_________________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤06．(强
化开放思维)能够一说“若ab>4，则a>2，b>2”是假命题的明组有序数对(a，b)是________．解析：当a＝1，b＝5，
成足ab>4，而a>2，b>2不满立答案：．(1,5)(答案不
唯一)
4．(对命题中条件与结论否定不全
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1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题．其中判断为 的语句叫做真命题，判断为 的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系判断真假真假
3．四种命题的真假关系(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有 的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件的相关概念记p，q对应的集合分别为A，B，则相同
A)，与充的A分不必要条件是
B(B⇒A且者 B)两A的不同．(4)A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件．(5)在判断充分、必要条件时，小可以推大，大不可以推小，如x>2(小范围)⇒x>1(大范围)，x>1(大范围) x>2(小范围)．
(1)四种命题的等价关系：原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时往往找等价命题进行证明．(2)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．(3)区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且B
1．下列命题是假命题的有( )A．三角形角平分线上的点到角的两边距离相等B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案：B
．逆否命题D．否定解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．答案：B 3．设x＞0，y＞0，则“x2>y2”是“x>y”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C
2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题 B．否命题C
4．若命题“∀x∈R，x2＋1＞m”是真命题，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，1)
层级一/ 基础点——自练通关(省时间)基础点 四种命题及其真假判断 [题点全训]1．(2023·合肥模拟)设x，y∈R，命题“若x2＋y2>2，则x2>1或y2>1”的否命题是( )A．若x2＋y2≤2，则x2≤1或y2≤1B．若x2＋y2>2，则x2≤1或y2≤1C．若x2＋y2≤2，则x2≤1且y2≤1D．若x2＋y2>2，则x2≤1且y2≤1答案：C
．若知春暖，必经冬寒D．不经春暖，必历冬寒解析：“不经冬寒，不知春暖”的逆否命题为“若知春暖，必经冬寒”．故选C.答案：C
2．(2023·安顺模拟)命题“若x，y都是奇数，则x＋y是偶数”的逆否命题是( )A．若x，y都是偶数，则x＋y是奇数B．若x，y都不是奇数，则x＋y不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x，y都不是奇数D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是奇数答案：D3．在下列四个说法中，与“不经冬寒，不知春暖”意义相同的是( )A．若经冬寒，必知春暖 B．不经冬寒，但知春暖C
4．有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．其中正确命题的序号是________．
[一“点”就过]判断命题真假的2种方法直接判断判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可间接判断根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当直接判断一个命题的真假不易进行时，可转化为判断其逆否命题的真假提醒(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提
．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2023·福建高三阶段练习)在四边形ABCD中，AB∥CD，则“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充要条件D．既不充分也不必要条件
层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一) 充分、必要条件的判断 [典例] (1)(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
(2)若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯形”的既不充分也不必要条件．故选D.[答案] (1)A (2)D
什么、结论是么什集合法利
用集合中包含思想判定．以住“抓小推大”的技巧，即小范围推
得大范围，即可解决充分必要性的问题
[方法技巧] 判断充分、必要条件的2种方法定义法直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是
对训练]1．(2019·浙江高考)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C
．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[针
模拟)设α：2a0；条件q：x2＋3x－4m＋3}，Q＝{x|－40，则a>0”，则它的否命题是_________________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤06．(强
化开放思维)能够一说“若ab>4，则a>2，b>2”是假命题的明组有序数对(a，b)是________．解析：当a＝1，b＝5，
成足ab>4，而a>2，b>2不满立答案：．(1,5)(答案不
唯一)
4．(对命题中条件与结论否定不全
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