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287年出生在意大利西西里岛的叙拉古，11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研《几何原本》．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。23．相交线与平行线解读课标在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础．相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用：1．角的计算与证明；2．两直线位置关系的确定．问题解决例1 如图，已知
ABDE∥，��=，CBA90�=�，则DEC410 试一试 �=__________．DCB
�、ABC、�EDC�表面上看很难联系起来，过BCD点作CCFDE例，问题就迎刃而解了．∥2 如图，
GBCDEFHA，∥∥∥AEDG∥，点在在AE上，点FCDG上，设与�相等的角的个数为a
�互补的角的个数为bab�，则
m（不包括�本身），与an，若mn+的值是（ ）．A．
8 B．9 C． 0 1 D．11试一试 略例3 如图，已知12�=�，
，求证：�=�DC
、�=�．试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．例4 如图，ABFA
CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在C两点，点
A、E是橡皮筋上一点，拽动
�、C试一试 � 之间具有怎样的关系？并说明理由．这是一道结论开放的探究性问题，由于CEA
E点将橡皮筋拉紧后，请你探索A�、
E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论（如夹在AB、
CD之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关
键．例5 平面上有
7条不同的直线，如
果其中任何三条直线都不共点．（1）你
n的图形n分6，
能画出各直线之间的交点个数为吗？其中别为，2115．（2）请尽可
能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？分
条直线交点的个数为7n，则102≤≤．（为n
析与解 设什么？）（1）如图
6个；如图
①，得到的交点个数为②，得到的交点个数为个；如图21③、④，得到的交点个数分
15．（2）
别为12、
n的大7条直线中互相平行的直线的数量，7条直线中可
小直接取决于因为能有：一
条；35条；条；67条）；二组
2条；4条；
组平行线（
条；35条；条，33条；3条，
2条，2条；2条，2条，4条；2条，4条）；三组
平行线（
3条）；没
平行线（2条，条，2条；22条，2条，
有平行线，所
以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究．实
际上本题的答案共有15个，即
n=，06，，，80115，15，，6，171，8，18119，20，
2，14，1，其中21重复数字表示交点个数相等
但图形不同的答案．平
移变换例6 平面上有
31�．分
六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于
析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将
所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．证明 在平面上
l，'l，'l，'，l'l，'l，则由平第'
任取一点O，过O点分别作这6条直线的平行线
123456
1 页
阿基米德，公元前
l，'，l'l，'l，'l，'之间互成的角与原来的l'l，l，l，l，l，l之间互成的角相等．现在我们
特性，知6条直线
123456123456
l，'，l'l的'l与'l，'与l'l，'l与'l，'与l'l所'
考虑…，情况，我们只考察…，成的角，由图不难发现这
12612235661
个角成一个平角，66个角的和为018�．假
即这
个角613�，则这个角都大于或等于631�，从而这6个角的和
设这没有一个小于至少为
l与'l所'
316186=���，这是不可能的，所以，这个角中6至少有一个小于31，不�妨设成的角小于
12
l与l所
31�，则原来的直线成的角也必小于31�．数学
12
冲浪知识
技能广场1．如图，用一
，�=�417
吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角那么吸管与易拉罐下部
度�=________2
夹角．2．如图，已知
AEBD∥，，�=�1301�，则�=302_�=_______．3．将直C
尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与1�互余______的角是_．4．如图，
ADEGBC∥∥，ACEF相等的角（不∥1�，则图中与，�=�则150
含1�）有______个；若
．在5�=________．GHA
52�，现
A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东A、B两
B地所修
地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则公路的走向应该是（ ）．A．
52 � B．52．西 �C25．� D38．如图，直线�6
北偏西南偏东偏北北偏西
lm∥，将45�角的ABC的直角顶点C放在直线m上，若，则�=�251
含有三角板�的2
度数为（ ）．A．
02 � B． 52� C．03．� D35．如图，已知�7
ABCD∥，�A）． �++�=（ ．EACAC
那么
036．� B 270� C．200．� D 180、8�．如图，D
G是△AB中边CBACEBD∥，GHDC∥，则图中相等的角
上的任意两点，共有（ ）．A．
5对 C．．对 6 D 7对9．如图，已知
4对 B．
FCABDE∥∥，a:2:::43，求��=DBa、
的�、B�D度数．10．如图，已知
ABCD∥．思
�+��=，求证：BFM12
维方法天地11．如图，
lm∥，CBAD的顶点m上，则�=_________．12．如图，已知a
长方形B在直线
ABCD∥，��=，EBA120，则=��CED35_31�=_________．．CEB
某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可
04�，04；�50�，
能．是________①第一次向左拐第二次向右拐②第一次向右拐第二次向左拐
130�；70�，110�；70�，110�．14．已知两个角的两
③第一次向右拐第二次向左拐④第一次向左拐第二次向左拐
40�，则
边分别平行，其中一个角为另一个角的度____数为_____．15．如图，
CDBE∥，则的��+�-123
度数等于（ ）．A．
09．� B 120� C．150� D．180．如图，已知16�
BCDA平分∥，BFBFDE∥，则
�，ABE且�与EAB�的关系是（ ）．A．D
B �=� ．DEBA3 C �+�=�．DEBA801 71��-�=� D．2ABED�=．探EBAD90
照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖
点的O、BO经灯碗反射OC，�=OABa
面，从位于灯泡发出的两束光线后平行射出，如果图中
，则�=CODb
�的BOC
度数为（ ）．A．
1
(ba + D．)
90、AB�-18．如图，两直线(ab)
180-�-． Bbaab + C．
2
CD平行，则）． （ �+�+��+�+�=+第543216
2 页
行线的
630� ． B 720� C．008．� D 900�19．已知
ABCD∥，
1（�=�．）如图CEA09
E平分CAE�时，求证：平分DCA2�；（）如图CAB
①，当
�=�，求证：DMCEEC2�02．�=．如图，已知GCMABE
②，移动直角顶点E，使
CDEF∥，+�=，求证：��21BACFABG∥．应用探究
乐园21．（1）如图
MANA∥，则．�+�=_________如图AA
①，
1212
MANA∥，则．�+�+�=___________如图AAA
②，
13123
MANA∥，则�．_�+�+�+=__________如图AAAA
③，141234
MANA∥，则+．__�+�+�+��=_________从上AAAAA
④，1512345
述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．（2）如图
ANAM∥，则=++��+�+�AAAA_L_____________．（3）利用上
⑤，
1n123n
ABCD∥，，�的平分线相交于FDCE=，��求E041
述结论解决问题：如图已知�和ABE
�的BFD
度数．22．实验证明，平面
镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一
射到m上，被aa反射到上，又被bb反射b反射
束光线平面镜平面镜，若被出的光线
n与m平行，，则�=�501_�=_______．（2）在（1）中，若3
，�=_________2
光线且
，则�=�551；若�=_______3，则�=�014_�=_______；（3）由（1）、（2），请你3
a、b的夹角_�=_______时，可以3
猜想：当两平面镜使任何射到平面镜
上的am，、ab的两m与n平行．请说明理由．相交线与平行线问题解决例1
光线经过平面镜次反射后，入射光线反射光线
��=�=，CBACFB80��=�-�=，EDCFCD80140� 3例D =�-�=�，例2 先CFDFCBCDB40
BDCE∥，再证DFBC∥.例4 如图，可分
证
别得到下列关系（证法同①）数学
冲浪1.
1062 �.20. � 3 �、35；130� 5.A6.A 7.A 8.D9.
�、2 �4 .4
a=�，72，��=D108
.11�=�10.略 B441
52.� 12954 �13. 1 .40�或140D15.� 16.D 17.B 18.D19.（1）略；（2）证法
④
FABE或作∥�平分线CGM.等CH20.作
较多，如过E点作
KFGC∥，延长GF、CD交于++=��，��21801CKB因=�，��+12BCA故
H点，则
，�=�+�BCBACK018CKAB∥，ABGF2.∥1.（1）
即
180�，036�，540，�720�（2）
(nF）过3-�（点作0811)
GABF，则∥DABGCF∥∥.则
1
，又�+�=�EDCEBADFB
()
得故
2�，�=�+�+EEDCEBA063��=�+，DECEBA022
.1（�=�.22）DFB011
100�；90�（2）
90�；90�（3）
ABDE∥，��=，CBA90�=�，则DEC410 试一试 �=__________．DCB
�、ABC、�EDC�表面上看很难联系起来，过BCD点作CCFDE例，问题就迎刃而解了．∥2 如图，
GBCDEFHA，∥∥∥AEDG∥，点在在AE上，点FCDG上，设与�相等的角的个数为a
�互补的角的个数为bab�，则
m（不包括�本身），与an，若mn+的值是（ ）．A．
8 B．9 C． 0 1 D．11试一试 略例3 如图，已知12�=�，
，求证：�=�DC
、�=�．试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．例4 如图，ABFA
CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在C两点，点
A、E是橡皮筋上一点，拽动
�、C试一试 � 之间具有怎样的关系？并说明理由．这是一道结论开放的探究性问题，由于CEA
E点将橡皮筋拉紧后，请你探索A�、
E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论（如夹在AB、
CD之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关
键．例5 平面上有
7条不同的直线，如
果其中任何三条直线都不共点．（1）你
n的图形n分6，
能画出各直线之间的交点个数为吗？其中别为，2115．（2）请尽可
能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？分
条直线交点的个数为7n，则102≤≤．（为n
析与解 设什么？）（1）如图
6个；如图
①，得到的交点个数为②，得到的交点个数为个；如图21③、④，得到的交点个数分
15．（2）
别为12、
n的大7条直线中互相平行的直线的数量，7条直线中可
小直接取决于因为能有：一
条；35条；条；67条）；二组
2条；4条；
组平行线（
条；35条；条，33条；3条，
2条，2条；2条，2条，4条；2条，4条）；三组
平行线（
3条）；没
平行线（2条，条，2条；22条，2条，
有平行线，所
以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究．实
际上本题的答案共有15个，即
n=，06，，，80115，15，，6，171，8，18119，20，
2，14，1，其中21重复数字表示交点个数相等
但图形不同的答案．平
移变换例6 平面上有
31�．分
六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于
析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将
所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．证明 在平面上
l，'l，'l，'，l'l，'l，则由平第'
任取一点O，过O点分别作这6条直线的平行线
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阿基米德，公元前
l，'，l'l，'l，'l，'之间互成的角与原来的l'l，l，l，l，l，l之间互成的角相等．现在我们
特性，知6条直线
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l，'，l'l的'l与'l，'与l'l，'l与'l，'与l'l所'
考虑…，情况，我们只考察…，成的角，由图不难发现这
12612235661
个角成一个平角，66个角的和为018�．假
即这
个角613�，则这个角都大于或等于631�，从而这6个角的和
设这没有一个小于至少为
l与'l所'
316186=���，这是不可能的，所以，这个角中6至少有一个小于31，不�妨设成的角小于
12
l与l所
31�，则原来的直线成的角也必小于31�．数学
12
冲浪知识
技能广场1．如图，用一
，�=�417
吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角那么吸管与易拉罐下部
度�=________2
夹角．2．如图，已知
AEBD∥，，�=�1301�，则�=302_�=_______．3．将直C
尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与1�互余______的角是_．4．如图，
ADEGBC∥∥，ACEF相等的角（不∥1�，则图中与，�=�则150
含1�）有______个；若
．在5�=________．GHA
52�，现
A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东A、B两
B地所修
地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则公路的走向应该是（ ）．A．
52 � B．52．西 �C25．� D38．如图，直线�6
北偏西南偏东偏北北偏西
lm∥，将45�角的ABC的直角顶点C放在直线m上，若，则�=�251
含有三角板�的2
度数为（ ）．A．
02 � B． 52� C．03．� D35．如图，已知�7
ABCD∥，�A）． �++�=（ ．EACAC
那么
036．� B 270� C．200．� D 180、8�．如图，D
G是△AB中边CBACEBD∥，GHDC∥，则图中相等的角
上的任意两点，共有（ ）．A．
5对 C．．对 6 D 7对9．如图，已知
4对 B．
FCABDE∥∥，a:2:::43，求��=DBa、
的�、B�D度数．10．如图，已知
ABCD∥．思
�+��=，求证：BFM12
维方法天地11．如图，
lm∥，CBAD的顶点m上，则�=_________．12．如图，已知a
长方形B在直线
ABCD∥，��=，EBA120，则=��CED35_31�=_________．．CEB
某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可
04�，04；�50�，
能．是________①第一次向左拐第二次向右拐②第一次向右拐第二次向左拐
130�；70�，110�；70�，110�．14．已知两个角的两
③第一次向右拐第二次向左拐④第一次向左拐第二次向左拐
40�，则
边分别平行，其中一个角为另一个角的度____数为_____．15．如图，
CDBE∥，则的��+�-123
度数等于（ ）．A．
09．� B 120� C．150� D．180．如图，已知16�
BCDA平分∥，BFBFDE∥，则
�，ABE且�与EAB�的关系是（ ）．A．D
B �=� ．DEBA3 C �+�=�．DEBA801 71��-�=� D．2ABED�=．探EBAD90
照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖
点的O、BO经灯碗反射OC，�=OABa
面，从位于灯泡发出的两束光线后平行射出，如果图中
，则�=CODb
�的BOC
度数为（ ）．A．
1
(ba + D．)
90、AB�-18．如图，两直线(ab)
180-�-． Bbaab + C．
2
CD平行，则）． （ �+�+��+�+�=+第543216
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行线的
630� ． B 720� C．008．� D 900�19．已知
ABCD∥，
1（�=�．）如图CEA09
E平分CAE�时，求证：平分DCA2�；（）如图CAB
①，当
�=�，求证：DMCEEC2�02．�=．如图，已知GCMABE
②，移动直角顶点E，使
CDEF∥，+�=，求证：��21BACFABG∥．应用探究
乐园21．（1）如图
MANA∥，则．�+�=_________如图AA
①，
1212
MANA∥，则．�+�+�=___________如图AAA
②，
13123
MANA∥，则�．_�+�+�+=__________如图AAAA
③，141234
MANA∥，则+．__�+�+�+��=_________从上AAAAA
④，1512345
述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论．（2）如图
ANAM∥，则=++��+�+�AAAA_L_____________．（3）利用上
⑤，
1n123n
ABCD∥，，�的平分线相交于FDCE=，��求E041
述结论解决问题：如图已知�和ABE
�的BFD
度数．22．实验证明，平面
镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一
射到m上，被aa反射到上，又被bb反射b反射
束光线平面镜平面镜，若被出的光线
n与m平行，，则�=�501_�=_______．（2）在（1）中，若3
，�=_________2
光线且
，则�=�551；若�=_______3，则�=�014_�=_______；（3）由（1）、（2），请你3
a、b的夹角_�=_______时，可以3
猜想：当两平面镜使任何射到平面镜
上的am，、ab的两m与n平行．请说明理由．相交线与平行线问题解决例1
光线经过平面镜次反射后，入射光线反射光线
��=�=，CBACFB80��=�-�=，EDCFCD80140� 3例D =�-�=�，例2 先CFDFCBCDB40
BDCE∥，再证DFBC∥.例4 如图，可分
证
别得到下列关系（证法同①）数学
冲浪1.
1062 �.20. � 3 �、35；130� 5.A6.A 7.A 8.D9.
�、2 �4 .4
a=�，72，��=D108
.11�=�10.略 B441
52.� 12954 �13. 1 .40�或140D15.� 16.D 17.B 18.D19.（1）略；（2）证法
④
FABE或作∥�平分线CGM.等CH20.作
较多，如过E点作
KFGC∥，延长GF、CD交于++=��，��21801CKB因=�，��+12BCA故
H点，则
，�=�+�BCBACK018CKAB∥，ABGF2.∥1.（1）
即
180�，036�，540，�720�（2）
(nF）过3-�（点作0811)
GABF，则∥DABGCF∥∥.则
1
，又�+�=�EDCEBADFB
()
得故
2�，�=�+�+EEDCEBA063��=�+，DECEBA022
.1（�=�.22）DFB011
100�；90�（2）
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