ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以
F为折痕把D△折起，使点CFDC到达点P的位置，且PFBF^．(1)证明：平面PEF^平面
ABFD；(2)求
DP与平面0FD所成角的正弦值．2．（2AB18北京）如图，在三棱柱
ABCABC中，-1CC^平面
ABC，D，E，F，
111
AACA求二面角==．(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)2
G 分别为1AA，，CA11AC，1BB的中点，
ABBC==，5
1
BCDC的余弦值--；(3)证明：直线FG与平面BCD相交．高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第1页—共18页
1
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路专题八 立体几何第二十四讲 空间向量与立体几何解答题1．（2018全国卷Ⅰ）如图，四边形


中，PABC-APPBPC===
BC，AB==22
AC=，4O为C的中点．(1)证明：POA^平面ABC；(2)若点M在棱
BC上，且二面角C为PAM--30�，求成C与平面PAM所P角的正弦值．4．（2018全国卷Ⅲ）如图，边长为2的正方形
�CD所在平面垂直，M是
ABCD所在的平面与半圆弧
�CD 上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD^平面
BMC；(2)当三棱锥
MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．-5．(2018天津)如图，
DBCA且∥BCDA=，2ADCD，^DEGA且∥EGAD=，
CDFG∥且CDFG，=2DG^平面ABCD，GDADCD的中点，===．(1)若M为CF2
N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；(2)求二面角
EBCF-的正弦值； (3)-若点P在线段DG上，且直线BP与平面
ADGE所成的角为60o，求线段DP的长．高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第2页—共18页
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路3．(2018全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥


ABCABC-中，AABA1==，点P，Q分别为11AB，BC的中点．(1)求异面直线BP与棱AC所成角的余弦值；(2)求直线1CC与平面1AQC所成角的正弦值．7．（2017新课标Ⅰ）如图，在四锥2
1111
PABCD∥中，-ABCD，且
o．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第3页—共18页
�=�=PDBAPC90
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路6．（2018江苏）如图，在正三棱柱


o ，求二面角
PAPDABDC===，APBC8-的余弦值．-．（2017新课标Ⅱ）如图，四棱锥
�=APD90
PABCDD中，侧面PA-为等边三角形且垂直于底面三角形
1
o，E是PD的中点．(1)证明：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱
ABCD，BBACAD==，
�=�=CBBADA90
2
PC上，且直线BM与底面CBAD所成角为45o，求二面角
MABD1-的余弦值9．（20-7新课标Ⅲ）如图，四面体
ABCD中，三形，D是正角CBA角三D是直角形，DCA
=�，�DABDCB
ABBD=．(1)证明：平面
ACD⊥平面面BC；(2)过AC的平A交BD于点E，若平面AEC把四面体
ABCD分成体积相等的两部分求二面角
DAEC-的余弦值．10．-（2017天津）如图，在三棱锥
PABC底面中，-A⊥PABC，，18共�=�．点D高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第4页—页ABC09
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路(2)若


PAAC==，4
BA）求二面角=．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ2
CEMN-的正弦值；-（Ⅲ）已知点
7
H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
21，求线段AH的长．11．（2017北京）如图，在四棱锥
PABCD-中，底面BCDA为正方形，平面PAD⊥平面
PAPD==，6
ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，
BA）求二面角=．（Ⅰ）求证：M为PB的中点；（Ⅱ4
BPDA--的大小；（Ⅲ）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．12．（2016年北京） 如图，在四棱锥
PABCD面中，平面P-D^平AABCD，
PAPD^，
APDP，=DAAB^，AB=，1DA==，5ACCD=.高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第5页—共18页2
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，


PD^平面；BPA （2）求直线
PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在点M，使得
PB与平面
AM
面BM平//DCP？若存在，求
AP的值；若不存在，说明理由.13．（2016年山东）在如图所示的圆台中，
AC是下底面圆直的O径，EF是上底面圆
O.的直径，FB是圆台的一条母线�（I）已知G,
H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=12AC=
FBCA-的余弦值.14．（-2016年天津）如图，正方形
ABBC=．求二面角
23，
形BCD的中心为O，四边AOBEF为矩形，平面
OBEF⊥平面BCDA，点G为AB的中点，
EABB）求证：==．（Ⅰ2
EG∥平面ADF；（Ⅱ）求二面角
OEFC-的正弦值；（Ⅲ）设H-为线段AF上的点，且AH=
2
HF，求直线BH和平面sEF所成角的正弦值.高考押题团队：公众号Cxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第6页—共18页
3
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路（1）求证：


o，
面EF是平,
ABCD为菱形，
�=ABC120
面BCD同一侧的两点，BE⊥平AABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC．（Ⅰ）证明：平面
AEC⊥平面EFC；（Ⅱ）求直线AA与直线CF所成角的余弦值．16．（2015福建）如图，在几何体
ABCDE中，四边形DBCA是矩形，AB^平面BEG，BE^EC，
CABBEE）求证：===，G，F分别是线段BE，DC的中点．（Ⅰ2
GF∥平面ADE；（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．17．(2015山东)如图，在三棱台
高考押题团队：公众号ACBC的中点．sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第7页—共18页,
DEFABC-中，EABD为=，,GH分别2
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路 15．（2015新课标Ⅰ）如图，四边形


CF⊥平面BCA，AB⊥BC，∠F=CDE，平AC=面45o，求B与平面FGH
ACFD所成的角（锐角）的大小．18．（2015陕西）如图
p
ΑΒCD中，ΑDΒ//C，===�，1ΑΒΒC，ΒΑD
1，在直角梯形
2
ΑD．=，Ε是ΑD将的中点，O是AC与BE的交点2折起到DD沿BE1ABE的位置，如图ΑΒΕ
2．（Ⅰ）证明：
CD（平面1AOC；^Ⅱ）若平面1ABE^平面
BCDE，求平面1ABC与平面1ACD夹角的余弦值．19．（2014新课标2）如图，四棱锥
PABCD-中，底面DBCA为矩形，PA⊥平面
ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角
DAEC6-为-0°，AP=1，AD=3，求三棱锥EACD-的体积．高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第8页—共18页
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路（Ⅰ）求证：BC//平面FGH；（Ⅱ）若


ABCDABCD-中，底面
ABCD是等腰梯形，
1111
o
=�DAB0,6ABCD，==22
M是线段的中点．BA（Ⅰ）求证：
DDCMAA//平面；（Ⅱ）若
111
面D垂直于平CCDM和平面
ABCD且D C，求平面3=DBCA所成的角（锐角）的余弦值．21．（2014辽宁）如图，
111
1
D和ABCD所在平面互相垂直，且BCDDABBCB，===2
0
）求证：Ⅰ（的中点．�=�=，E、DF分别为AC、CCBDCBA201
EFBC；^（Ⅱ）求二面角
EBFC -的正弦值．22．-(2014新课标1)如图三棱锥
ABCABC-中，侧面BBCC为菱形，ABCB^． (Ⅰ) 证明：
111111
ACAB；=（Ⅱ）若
1
o
ACAB^，，=�BBC60
ABBC，求二面角=111AABC--的余弦值．高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第9页—共18页
11
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路20．（2014山东）如图，在四棱柱


DABBDC===，1BDBBDCDA将^^,,
ABCD中，D沿ABD
BD折起，使得平面ABD^平面BCD，如图．（Ⅰ）求证：
CD；（Ⅱ）若
AB^
MBC所成角的正弦值．24．（2014浙江）如图，在四棱锥
M为AD中点，求直线AD与平面
A中，平面CDEB平面ACBBCDE，
o，2ABCD==，1DEBE==，2AC=．（Ⅰ）证明：DE平面
�=�=EDCDEB90
ACD；（Ⅱ）求二面角EADB的大小．25．（2014广东）如图4，四边形
030DPC�=，AFPC^于点F，//FECD，交PD于点E．（Ⅰ）证明：CFADF^平面（Ⅱ）求二面角DAFE--的余弦值．高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第10页—共18页
平面BCD为正方形，PD^AABCD，
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路23．（2014福建）在平行四边形


ACBDOI，=
1111ABCDABCD-的所有棱长都相等，
CBDOA四边形I，=ACCABDBD和四边(均为矩形．形1)证明：
111111111
1;OOABCD^底面(2)若
o
--�=COBDCBA60,求二面的余弦值．角27．（2014陕西）四面体
11
ABCD及其三视图如图所示，过被
AB的中点E作平行于
BD，于点DC，CAF（，．Ⅰ）证明：四边形G，H
AD，BC 的平面分别交四面体的棱
EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线
EFGH夹角0的正弦值．28．（213新课标Ⅰ）如图，三棱柱
AB与平面
ABCABC中-，ABAA，1BAA�=60°．=高考押题团队：公众号sxgkzk QQ：1185941688 高考真题专项分类（理科数学）第11页—共18页
CACB=，
1111
一线名师凭借教学实践科学分类，高质量的解析，你能感受到名家不一样的解题思路26．(2014湖南)如图，四棱柱


ABAC；^（Ⅱ）若平面
1
AABB，BCC所成角的正弦值．B29．（2013新课标Ⅱ）如图，直三棱柱
ABC⊥平面ABCB=，求直线1AC与平面
1111
111ABCABC-中，,DE分别是1,ABBB的中点， 122AAACCBAB===（Ⅰ）证明：1BC//平面
1ACD；（Ⅱ）求二面角
1DACE--的正弦值．30．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形
DE分别是,
,BC中A�,�=A90BC=,6
ACAB上的点