高中数学选择性必修第二册第四章 数列知识点要点：数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列


1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单


孤立的点.5.递
推数列一
钢管堆，放共堆了七层，自上而下各层的钢管构成一个数列：4数，5，6，7，8，9，10.①数列
①还给以用如下方法可出：自上而下第一层的钢管一是4，数下每以层的钢管
数都比上层的钢管数多1。等差
数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的
差等，同一个常数于这个数列就叫做
差等做数，那么这个列数叫常等差数列的公差，公差通常用字d母表示.等差
数列的基=公式通项公式an本a1+(n-1)d ，注意：
等差n列求和公式 即 第数项=首项+(n-1)×公
差（n是项数前）n项和公式（
个当于n相等差中项之和.）注意：n是正整数等差
是列前n项求和，实际就数梯形公式的妙用：上
底为a1（首项），下底1a为+(n-1)d,高为n，即
位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个


论一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直
线，由前n上项和公式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，
且常数项为0.二、从
等差公列的定义、通项公式、前n项和数式还可推(：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1出类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=…=pk+pn-k+1)，k∈{1,2,…,n}. 三
、，m，n，若，q∈N*p且m+n=p+q，则am+an有=ap+aq.若m+n=2p,则am+an=2ap.等差
中项等差
中项即等差数列头尾两项的和的一半求但，等差定项不一中要知道头尾
两项.在
等差数列中，等差一项中般设Ar.为当Am,Ar,An成等差列数时，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的
差等中，项且平为数列的均数，并且可以
推n+m=2r知，且任a两项am，an的关系为：an=意m+(n-m)d，类似地pn=pm+(n-m)d，相当
容易证　.明它可以看作
等差数列广公的通项义式.　等差
列常应用于数日常活生中，如在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的
最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按差等数列进行分.级　其实，中
国古代南北朝的张丘建早已在提张丘《算经》建到等差数列了：　今
有女子不善织布，逐日所织的布，同以递减数初日织五尺，一末日织一尺
，计织三十日，问共织几何?　书
中的解法是：并初、末日织布，数半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了Sn=的求和公式.等差
数列的基本性质r次
等差数列
推


什在么等差学数列的习中对公差注首项和别地关特？因为公差首和项可以作为
等差数列一切变化的切入点.当我更有们好的切入点后，我们可以毫不
犹豫地抛弃公差首和项.　　假设
一个基向，En(x)量[1,x,x2,…,xk]=转换阶阵A为k+1矩方[，b=阵b0,b1,b2,…,bk].b同En的长度一样为k+1，b′表示b的
转置。当k=1时，
我们可以称为一次数列；=时k当r，我们可以称)r次数列(x,k只能取自然数).p(x)=En(x为·b′.s(x)=x·En(x)·A·b′.m+n=p+q（m，n，p，q∈N*)，
则am+an=ap+aq.一次
等差列的性质1.p1数(x),p2(x)均
为一次等差数列，p1(x)±p2(x)则与c·p1(x)±p2(x)(c为非
零常数)也是一次等差x列.p(数)是一次函数，(n,p(x))构成直b.2.pm-pn=En(m)·b′-En(n)·线′=(En(m)-En(n))·b′=（0,m-n）·b′.3.m+n=p+q⇒pp+pq=pm+pn (证
明:m+n=p+q⇒En(m)+En(n)=En(p)+En(q).pm+pn=En(m)·b′+En(n)·b′=(En(m)+En(n))·b′pp+pq=(En(p)+En(q))·b′=(En(m)+En(n))·b′=pm+pn）.4.从p(x)=En(x)·b′中取出
等距离的项，构成一个新列列，此数数仍是一次
等差之列，其数次项系数为k·b1( k为取出项数一差)，常数项系数未知.次5.在一
等差项列中，从第二项起，每一项(有数数列末穷除外)都是它前后两项的平
均数b6.当一次项系数．1>0时，数列中的数
随项数的增大而增大；1b当m)则Sn-m= (1+)a-3b．（5）
从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差列的通项公式an=a数1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d）
，当d≠0时，an是关于n的一次函数.（6）记等差
数列的前n项和为Sn．①，a1>0若公差d0，则当an≤0且an+d≥0时，Sn有
最小值（．7）若等差
数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=-(p+q).等差
数列的特殊性质　　
在有穷等差项列中，与首末两数距离相等的两项相和等，并且等项首末两于之和.特别地，
若项数为奇数，还等项中间于的2倍,　　即
，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=2a中 　　
例：在数列1，3，5，7，9，11中，a1+a6=12 ; a2+a5=12 ; a3+a4=12;即
，在有穷等差中列数，与首末两项
距离相等项两的和相等，并等且于首末两项之和.在
等差5列1，3，数，7，9中，即
，若项数为奇项数，与首两末距离相等的两项和等中间项的2倍于.另见，等差
中项.  等
比数列考点梳理考
点一：等比数列的概念
（1）


等那同一个常数，于么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.考
点二、等的数列比通项公式要点
诠释：①方
程观点：知二求一函②；数观点：函数的图象上一
群孤立的点；③当时，
若，等列数比是递增数列，若；等比数列是递减数列
；当时，
若，等列数比是递减数列，若；等比数列是递增数列
；当时，
等列比列是摆动数数；当时，
等比数列是非零常数列。考
点三、等比数列通项公式的主要性质：（1）等
比中项：成等比数列，则；（2）
通项公式的推广；：（3）若，
则