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高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第四章2023第四节 三角函数的图像与性质
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等).1.三角函数的定义域2.三角函数的值域3.三角函数的单调性4.三角函数的周期性、奇偶性与对称性1.直观想象2.数学运算
强基础 增分策略
.=在余弦函数y cos x,x∈[0,2π]的图像上,五个关键点是:微点拨函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标分别与函数的零点和极值点密切相关.(0,1)
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像上,五个关键点是:
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 [-1,1] [-1,1]
2π2ππ奇函数 偶函数 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
微点拨1.判断三角函数的奇偶性,应首先判断函数定义域是否关于原点对称.2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.3.写单调区间时,不要忘记k∈Z.微思考能否认为函数y=tan x在它的定义域上为增函数? 提示:不能,应该说函数y=tan x在每个区间 (k∈Z)内为是增加的,这些区间是不连续的.
常用结论1.对称与周期
2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (k∈Z).(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).注:其中A≠0,ω≠0.
增素能 精准突破
考点一考点二考点三考点四考点一三角函数的定义域典例突破
考点一考点二考点三考点四(2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图像,在同一直角坐标系中画出[0,2π]上函数y=sin x和函数y=cos x的图像,如图所示.
考点一考点二考点三考点四突破技巧1.三角函数定义域的求法将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图像求解.
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
.
考点一考点二考点三考点四考点二三角函数的值域或最大(小)值典例突破 (3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四突破技巧求三角函数的值域或最大(小)值的3种类型及解法思路 形如y=asin x+bcos x+c化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域、最大(小)值形如y=asin2x+bsin x+c先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域、最大(小)值形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域、最大(小)值
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
为 ,递减区间 .
考点一考点二考点三考点四考点三三角函数的单调性(多考向探究)考向1.求单调区间典例突破(2)函数y=|tan x|的递增区间为
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四(2)作出函数y=|tan x|的图像,如图.
考点一考点二考点三考点四突破技巧已知三角函数的解析式求单调区间的方法 代换法三角函数中含自变量的代数式整体当作角α(或t),利用函数的单调性列不等式求解图像法画出三角函数的正弦、余弦、正切曲线,结合图像求它的单调区间[提醒]将解析式先转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的形式再求解更方便.
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四考向2.由单调性求参数典例突破
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四突破技巧已知单调区间求参数范围的3种方法 子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应三角函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解
)(2)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在x∈[a,2](a0)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需
只需ωx+φ=kπ(k∈Z),再求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,令令ωx+φ= +kπ(k∈Z),再求x.
考点一考点二考点三考点四突破技巧1.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.2.(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需
中学高三月φ)已知考∈R,则
“φ=0”是数y=sin(x+“)为奇函φ”的( )A.充
分不必要条件B.必要不
充分条件C.充
要条件D.既
不充分又不必要条件
考点一考点二考点三考点四对点训练6(1)(2021天津耀华
以“φ=0”是函数y=sin(x“φ)为奇+”的充分不必要条件.
考点一考点二考点三考点四解析:(1)当φ=0时,y=sin(x+φ)=sin x为奇函数;当y=sin(x+φ)是奇函数时,φ=kπ,k∈Z,所
束
本 课 结
内容索引0102强基础 增分策略增素能 精准突破
课标解读衍生考点核心素养1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等).1.三角函数的定义域2.三角函数的值域3.三角函数的单调性4.三角函数的周期性、奇偶性与对称性1.直观想象2.数学运算
强基础 增分策略
.=在余弦函数y cos x,x∈[0,2π]的图像上,五个关键点是:微点拨函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标分别与函数的零点和极值点密切相关.(0,1)
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像上,五个关键点是:
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 [-1,1] [-1,1]
2π2ππ奇函数 偶函数 [2kπ-π,2kπ](k∈Z) [2kπ,2kπ+π](k∈Z)
微点拨1.判断三角函数的奇偶性,应首先判断函数定义域是否关于原点对称.2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把ωx+φ看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解,否则将出现错误.3.写单调区间时,不要忘记k∈Z.微思考能否认为函数y=tan x在它的定义域上为增函数? 提示:不能,应该说函数y=tan x在每个区间 (k∈Z)内为是增加的,这些区间是不连续的.
常用结论1.对称与周期
2.与三角函数的奇偶性相关的结论 (k∈Z).(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).注:其中A≠0,ω≠0.
增素能 精准突破
考点一考点二考点三考点四考点一三角函数的定义域典例突破
考点一考点二考点三考点四(2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图像,在同一直角坐标系中画出[0,2π]上函数y=sin x和函数y=cos x的图像,如图所示.
考点一考点二考点三考点四突破技巧1.三角函数定义域的求法将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图像求解.
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
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考点一考点二考点三考点四考点二三角函数的值域或最大(小)值典例突破 (3)函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四突破技巧求三角函数的值域或最大(小)值的3种类型及解法思路 形如y=asin x+bcos x+c化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域、最大(小)值形如y=asin2x+bsin x+c先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域、最大(小)值形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域、最大(小)值
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
为 ,递减区间 .
考点一考点二考点三考点四考点三三角函数的单调性(多考向探究)考向1.求单调区间典例突破(2)函数y=|tan x|的递增区间为
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四(2)作出函数y=|tan x|的图像,如图.
考点一考点二考点三考点四突破技巧已知三角函数的解析式求单调区间的方法 代换法三角函数中含自变量的代数式整体当作角α(或t),利用函数的单调性列不等式求解图像法画出三角函数的正弦、余弦、正切曲线,结合图像求它的单调区间[提醒]将解析式先转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的形式再求解更方便.
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四考向2.由单调性求参数典例突破
考点一考点二考点三考点四
考点一考点二考点三考点四突破技巧已知单调区间求参数范围的3种方法 子集法求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应三角函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过 周期列不等式(组)求解
)(2)已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在x∈[a,2](a0)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需
只需ωx+φ=kπ(k∈Z),再求x;如果求f(x)的对称中心的横坐标,令令ωx+φ= +kπ(k∈Z),再求x.
考点一考点二考点三考点四突破技巧1.三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.2.(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需
中学高三月φ)已知考∈R,则
“φ=0”是数y=sin(x+“)为奇函φ”的( )A.充
分不必要条件B.必要不
充分条件C.充
要条件D.既
不充分又不必要条件
考点一考点二考点三考点四对点训练6(1)(2021天津耀华
以“φ=0”是函数y=sin(x“φ)为奇+”的充分不必要条件.
考点一考点二考点三考点四解析:(1)当φ=0时,y=sin(x+φ)=sin x为奇函数;当y=sin(x+φ)是奇函数时,φ=kπ,k∈Z,所
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