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第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝ rad；1 rad＝°弧长公式弧长l＝| α | r扇形面积公式S＝lr＝| α | r 23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝
y，cos α＝x，tan α＝( x ≠ 0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度.答案 －3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.答案 －3解析 因为sin θ＝－0，则角θ是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )A.－ B.－ C. D.(3)函数y＝的定义
域(1)________________.答案 (1)D (2)B (3)(k∈Z)解析 为由>0，得>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θOM>MP，故有sin α
坐标y(x，为)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标(为－1，).13.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么( )A.M＝N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N＝答案 B解析 由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而
解析 ∵－2 022°＝－6×360°＋138°，∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同.∴－2 022°角是第二象限角.与－2 022°角终边相同的
整(2022·M⊆N.14.数，因此必有郑州调研)在平面直角
坐标系xOy中，点P(，1)，将量向OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量OQ，则点Q的
坐标－，( )A.(是1) B.(－1，)C.(－，1) D.(－1，)答案 D解析 设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋，由题意可得sin α＝，cos α＝，结
合三角函数的定义与诱导＝xQ公式可得2cos β＝2cos＝－2sin α＝－1，yQ＝2sin β＝2sin＝2cos α＝，即点Q的
坐标y(－1，).15.函数为＝lg(2sin x－1)＋的定义
域________.答案 (k为∈Z)解析 要
使函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相
应的三角函数线，由图可知，原函数的定义
域Z(k∈为).16.(2021·聊城
模拟)如图是某商业小区的平面设计图，步初设计该小区边轮廓界是半径为200米
，圆心角为的扇形AOB.O为南门为位，C置东门位置，小里区的小AO有一条平行于
路CD，若OD＝米AC，则圆弧的长为________米.答案 50π解析 连
接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，
N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是
∠CDO＝π－∠DOA＝π－＝.在△OCD中，由正弦定理可得＝，即＝，则sin∠DCO＝，因为∠DCO＝∠COA，且0＜∠COA＜，所以∠DCO＝∠COA＝，所以l AC＝·200＝50π(米).
y，cos α＝x，tan α＝( x ≠ 0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√解析 (1)锐角的取值范围是.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了________弧度.答案 －3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°＜0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°＜－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________.答案 －3解析 因为sin θ＝－0，则角θ是( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )A.－ B.－ C. D.(3)函数y＝的定义
域(1)________________.答案 (1)D (2)B (3)(k∈Z)解析 为由>0，得>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θOM>MP，故有sin α
坐标y(x，为)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标(为－1，).13.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么( )A.M＝N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N＝答案 B解析 由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而
解析 ∵－2 022°＝－6×360°＋138°，∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同.∴－2 022°角是第二象限角.与－2 022°角终边相同的
整(2022·M⊆N.14.数，因此必有郑州调研)在平面直角
坐标系xOy中，点P(，1)，将量向OP绕点O按逆时针方向旋转后得到向量OQ，则点Q的
坐标－，( )A.(是1) B.(－1，)C.(－，1) D.(－1，)答案 D解析 设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋，由题意可得sin α＝，cos α＝，结
合三角函数的定义与诱导＝xQ公式可得2cos β＝2cos＝－2sin α＝－1，yQ＝2sin β＝2sin＝2cos α＝，即点Q的
坐标y(－1，).15.函数为＝lg(2sin x－1)＋的定义
域________.答案 (k为∈Z)解析 要
使函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相
应的三角函数线，由图可知，原函数的定义
域Z(k∈为).16.(2021·聊城
模拟)如图是某商业小区的平面设计图，步初设计该小区边轮廓界是半径为200米
，圆心角为的扇形AOB.O为南门为位，C置东门位置，小里区的小AO有一条平行于
路CD，若OD＝米AC，则圆弧的长为________米.答案 50π解析 连
接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，
N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是
∠CDO＝π－∠DOA＝π－＝.在△OCD中，由正弦定理可得＝，即＝，则sin∠DCO＝，因为∠DCO＝∠COA，且0＜∠COA＜，所以∠DCO＝∠COA＝，所以l AC＝·200＝50π(米).
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