2
yaxbxc=++
xxabc，，
abc
2
yax=
a
y
x>0xx0xx0xx0xxxhxxhxxhxh02a
2
��
bacb4-
-，
��
24aa
��
b
x-
24aa
yy
��
2ax2ax
2
4acb-
b
x=-
y
2a4a
2
yaxbxc=++
abca�0
2
kyaxh=-+()
ahka�0
xxxyax=--()()xx
a�0x
1212
变成


a
2
yaxbxc=++
aa�0
a>0aa
⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
a0
⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
b
-02a
b
-=0
y
b=02a
b
->0
y
b0
y
b>02a
b
-=0
y
b=02a
b
-0，在y轴的右侧则
ab0x
⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
yy
c=0
⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
0
yy
cDacb40
D=0x
D2'0
a>0xx


aR，OP＝d，则有：d为r  点P在⊙O 外
；d＝r  点P在⊙O 上；d。5、三
角形的外接圆，外心三角
形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。知识
点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角的形外心是斜，中点边钝角三角
形外心在三角形外部。三角
形外心到三角形三个顶点的距离相等。相关知
识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。二、
圆的性质1、
旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；2、
圆是中心对称图形，对称中心是圆心．性质：在同
圆或等圆如中，果个两圆心角，两条弧两条，弦个，两距心弦中有一对量相等，那么它们所对应的其
余各对量也分别相等。3、轴对称：
圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．径
定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦对所的两条弧 垂径
定理的推论 平
分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦
的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平
分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同
圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等即：
ABCD^ECDE=BC
AB=BD
①是直径 ② ③④ 弧弧
OCDABOEDCBA设⊙O的


AC
=AD
推出其他3个结论。推
论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在
O
ABCD
⊙中， ∥ ∵∴弧弧4、与
AC
=BD
圆有关的角⑴ 圆心角
：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角
的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。⑵ 圆周角
：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角
的性质：① 圆周角
等于它所对的弧所对的圆心角的一半．② 同
弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③ 90°的
圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．三、
弧、扇形、圆锥侧面的计算⑴ 圆
2，
S=πRC=2πR⑵ 圆心角
的面积:周长:
nπR
l=
为n°，半径为R的弧长180 ．⑶ 圆心角
2
nπR1
S=lR.知识
S=
为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积
2
360 或
点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。⑷ 圆锥
的侧面展开图为扇形。底面半径
S=πRl，
为R，母线长的l，高为为h圆锥的侧面积为全面积为
2 ，22。2四、作图平分
S=πRl+πRl=R+h
母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有
已知弧；作三角形的外接圆。五、
辅助线圆
中常见的辅助线1．作
半径，利用同圆或等圆的半径相等；2．作
弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；
⑤ 弧弧中，任意2个条件


半径和弦心距，构造由“半径、半弦和组”弦心距成的直角三角形进行计算
；4．作
弦构造同弧或等弧所对的圆周角；5．作
弦、直径等构造直径所对的直角圆周角——；6．
遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。第四章 相
似三角形知
识相点1 似图形形状相同的图形
叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知
识点2 比例线段的相关概念如
果选用同一单位量得两条线段注意：在求线
段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线
a,b,c,注d意：(1)当两个比
段
例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．2)比
例线段是有顺序的，如果说知
识点3 比例质性的 基本性质：(1)
a:b=c:d⇔ad=bc；(2)
2
a:c=c:b⇔c=a⋅b．注
意：由一个比
例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为
a:b=c:d更比性质(交
换比例的内项或外)项：反比性质(把
acbd
=⇒=
比的前项、后项交换)：bdac．合
()()()abcdacdcbdbadbca�=���=�=���=��，交换内项，交换外项．同时交换内外项3．作


aca±bc±d
=⇒=
bdbd．注意：实
际上比，例的合可比质性扩展为：比例中式等号左右两个比的前项，后项之间发生同
ac
=⇒
bd
b−ad−c
=
ac
a−bc−d
样和差变化比例仍成立．如：
=
a+bc+d
¿
{
¿¿¿ 等等． ¿等比性质：如果
acema+c+e+⋯+ma
===⋯=(b+d+f+⋯+n≠0)，那么=
bdfnb+d+f+⋯+nb．注意：(1)此
k法” ，这种方法是有关比
性质的证明运用了“设例计算形中，变一种常用方法．(2)应用等比性质时，要
考虑到分母是否为零．(3)可利用
分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：知
识点4 比例线段的有关定理平行
线分线段成比例定理：三条平
行线截两条直线，所得的对应线段成比例．论：1)平
行于三角形一边的直线截其它两边(2)平
行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定
理：如果一条直线截三角形的两边知
识 5 点黄金分割把
线段成两条线段知
AB分
识点6 相似三角形的概念对
比性质：


角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似
用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似
三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似
三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三
角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序
性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三
角形形状一样，但大小不一定一样．④全
等三角形是相似比为知
识点7 相似三角形的基本定理定理
平：行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长构)相交，所线成的三角角形与原三
形相似．定理
的基本图形：数
学语言表述是：
∵DE//BC
∴ΔADE∽
ΔABC．知
识 8 点 相似三角等的形价关系(1)反
ΔABC有ΔABC∽ΔABC． (2)对称性：
身性：对于任一
ΔABC∽ΔA'B'C'，则ΔA'B'C'∽Δ． BCA(3)传递
若
'，'∽''''''，则
ΔABC∽ΔABC∽
ΔA'B'CΔA'B'CΔABC
性：若且
''''''．知
ΔABC
识点9 三角形相似的判定方法
应


义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平
行法：平行于三角形一边的直的和其它两边线(或两边延长相)线交，所构成的三
角形与原三
角形相似．3、判定定
理1：如果一个三角形的两个角与另一三个角形的两个角相应对等，那么这两个三
角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定
理2：如果一个三角形的两条边和另三个一角比的两条边对形成应例，并
且夹角相等，那么这两个三
角形相似为简述．：两边对应比成例且夹角相等，两三角形相
似．5、判定定
理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三
角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定
直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定
均适用．(2)如
果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角
三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．错误！超链接引
用无效。　　公
式 如图，Rt△ABC中，是BAC=9∠°，AD0斜的BC上边高，则有射影
定理下：（1）（AD）如2=BD·DC，　　
（2）（AB）2=BD·BC ，　　
（3）（AC）2=CD·BC 。　　证明
：在 △BAD与A（△D）2=BD·DC
1、定


：由上述射影定理还可以明证错误！超链接引用无效由。。公（2）+式（3）得：　　
（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2，　　
即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。　　这就是
勾股定理的结论。知
识点10 相似三角形性质(1)相
似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相
似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相
A
似三角形周长的比等于相似比．(4)相
D
E
似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相
注BADCBADCBEADCB　　C
似三角可性质用来形明证线段成比例、角，等相也可用来计算周长、边长等．知
识 11 点 相似三角常形见 图形 的（1）
型DE∥BC（A若和X型）则△ADE∽△ABC （2）
射影定理 RCD为若t△ABC斜边上的高（双直角2则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC图形） =AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）
、足1、AC2=AD·AB，2满∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．（4）当或AD·AB=AC·