适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2课时知识点几何体的表面积，几何体的体积，几何体的三视图与体积和表面积;教学目标掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．通过几何体的探究，渗透空间想象能力；通过对表面积和体积求解，提高学生的推理论证能力、运算求解能力．教学重点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．教学难点球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．【教学建议】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；对于几何体表面积和体积的求解，学生的学习困难主要在两个方面：（1）要求准确的使用几何体的特征，例如：锥体中没有直棱柱，四面体是三棱锥，棱柱的上下底面平行且全等..（2）要有好的运算求解能力.【知识导图】【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法：1情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；第 1 页教学过程一、导入


工具很落
后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数如量此之多，又每块如此的重之巨石垒成如
此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的个.谜大金字塔是一胡夫正四棱锥外形的建筑，塔底
边长230米米146，塔高5.，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？设计
意图：提出现实问题引起学生兴趣，激发学习的动力，从而调动学生积极性.【教学建议】通过前面的
、知识讲解
引导，得到单调函数的定义，建议用三种语言对比的形式来加深理解；
得到增函数的定义后，可以让学生来类比写出减函数的定义：1.直棱柱与
圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘积．，
其中为底面的周长，为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（
母线）长；2.正
棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）乘积的一半．，
其中为底面边长，为斜高；，
其中为底面周长，为圆锥的底面半径，为母线长；3.正
棱台（圆台）的侧积面：等于它的上下底面周长之和与斜高（母线）乘积的一半．，
其中分别是正棱台上下底面的边长，为斜
高；，
其中分别是圆台上下底面的半径，为母；线长4.球面面积：等于它的大
圆面积的四倍．，为球的
半径建【教学．议】(1)将
棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开分图别四是行平边形、干若个三形角干、若
个梯形的组成平面图侧形,面展开图的面积就棱是柱、棱锥、棱台第 2 页考点1 多面体的面积和体积公式二
2温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：1、思路1 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产


侧锥积.(2)棱柱、棱面、棱台的表面积等于它们的
侧面积与各自的底面积的和.(3) 除
球面，了里这提到的其它几何体的表面都可以开展，侧积积公式和表面面公式可以直接推导
出 ． 来 (4)要提
醒学生注意平间与空面问题的转化对，这几种几何体的侧面展开图，
截轴比面的图等有个较清晰的印能象在计算时，灵活转化．1．柱体（棱柱，
圆柱）体积公式：，其为底面积，中为高；2．棱体（棱锥，
圆锥）的体积公式：，其为底面积，中为高；3．台体（棱台，
圆台）的体积公式：，其中分别上，下底面的面积，是台体为台体的高；4．球的体积：，为球的
半径式【教学建议】对柱体与锥体体积公．的推导，课本上是以长方体的体积公式为基
础的，根据祖暅原理
得到的．祖暅原
理：幂势相同，则积不容异．即夹个两在平行平面间的两个几何体，被平行于
这两平面的个任意面平所截，如果截得两个的截面面的积相总等，那么这
两个几何体体积相等．提祖暅出的“幂势既，同则积不容”，及异“体积之比等于对
截应在面积之”，比这里是当作既理使用．公法“幂势提同，则不容积在”，异
西方通常卡做“叫瓦列利原理”．瓦列利卡在他的续名著连《不可分几何
》中提出这一原理，这本书出体于1635年．课本对柱版和锥体体积公式的推导过程：⑴长方体的体积；⑵利
用原祖暅理可以说明积等底面积等高的长方体与：体的体柱相积，故柱体的体等为：；⑶利
用原祖暅理可以说明积等底面积等高的锥体：体的均相柱；⑷三棱等可以分割成三个体积
相的的锥，故锥体等体积为；⑸利
用两个锥体做差可得体台的体积公式．类型
精析例题1
一 柱体、锥体、台体的表面积和体积第 3 页考点2 几何体的体积公式三 、例题
的


高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (　　)A. 　 B. C. D.【解
析1.选】D.该几何体为圆柱体的一可,半得上下两个半圆的表面积,侧
面积,所以此几何体的表面积.【
总结与反思】空间几何体的表面积的求法
技巧(1)多面体的表面积是
各个面的面积之和.(2)组合体的表面积
应注意重合部分的处理.(3)圆
、柱圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展图为平面形面积是算计而表,
侧面积与底面圆教.【的面积之和学建议】本题有一
定难度，视学生掌握程度选择使用.第二问可以放在类型二中放在例题1之
后来讲.1.圆
锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是,则圆锥的体积是 (　　)A B 　 C D 2.已知一个三棱台的两底面是
边长分别为和的正三角形,侧面是全等的等梯腰形,且
其侧 ,求棱台的高和体积 面积等于两底面面积之和 .【
答案 ,1. A】 2. ,.【解
析】1.设圆锥的母线长为,底面半径,高为 (为如图所示),则由
题 ,,意得2.如图
所中,三示台ABC-A′B′C′中,O,O′为两底面的棱心,D、D′第 4 页例题2
1.(2019·陕西


梯形BCC′B′的高,所.以又A′B′=20,AB=30,则
上、下底面面积之和为 .所
以.在直
角梯形O′ODD′中,即棱台的高为.由
棱台的体积公式,可得棱台的体积为【总结
与反(1】求几何体体积的常用方法思)公式法:直接
代法.(2)等积入公式求解:例如四面体的
任何一个面都可以作为底面,只需高用底面选和积都易求的式即可.形(3)补体法:将
几何体补成易,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱锥等求解的几何体.(4)分割法:将
几何体分割成易求解的几部分,分别积..类型二 球体的表面求体积和体积1．如图1317是一个几何体的三视图，
据根图中的数据可得该1何体的表面积为(　　)图几317A．18πB．30π第 5 页例题1
是BC、B′C′的中点,则DD′是


答案】　C【解
析】　由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底面半径都等于3，
圆锥的母5线长等于，所以该S＝2π×3几何体的表面积2＋π×3×5＝33π.【
总结与反思】 球体的表面积公式,扇形面积公式.2．设三棱柱的
侧棱垂直于底面，所有棱的长都，为a顶点都球一个在面上，则该
球的表面积为(　　)A．πa2　　　　　　B.πa2C.πa2D．5πa2【
答案　 】B　【解
析】 [由题意知，该为棱柱三正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均图a，如为，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易aAP＝×知＝a，OP＝a，所以球的
半径R＝OA满足R2＝＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.【
总结与反思】几何体内接于球体的问题,由球半径和截面半径构造的最重要.1．
堂运用基
础
正三棱锥的底面边长为，高为a，则此三棱锥的侧．(　　)．A． B面积为 C． D．2．长方体的高等于
等，底面积于h过，a相对侧棱的截面积等于面b，此则长方体的侧
面积等于(　　)．A． B．C． D．3．过球的一
条半径的中点，作垂直于径半该的平面，则所得截．的面积与球的表面积之比为(　　)．A面 B． C． D．4．一个几何体的三视图如图，
该(　　)几何体的表面积是．A．372 B．360 C．292 D．280答案
与解6第 析 页四 、课
C．33πD．40π【


答案】A2. 【
答案】C【解
析】设长方体的底面边长分别为x，y，则，由②得，
∴.3. 【
答案】A4. 【
答案】B【解
析】该体几何是由成个长方体组两，下方的长方体长为10，宽为8，高为2，故表面积为232，上方的长方体长为6，
宽为2，高为8，故表面积为152.总3表面积为2的2＋152－2×2×6＝360.1．已知三个球的
径半、R1R2、足3满RR1＋232R＝R3，则它们的表面积、S1S、2满足S3
的等量关系是______．2．有两个
相三的直三棱同，高