第一章 三角形的证明1 等腰三角形（第3课时）


学习目标1. 学会证明等角对等边,并进行等腰三角形的判定.2.体会反证法，并会用反证法进行证明.3.规范证明的书写过程.


请同学们回答下面的问题：等腰三角形的性质是什么？①有两个相等的角. ②有两条相等的边.③底边上的中线、高和顶角的平分线重合.复习旧知


∠B= B=C.求证：A∠AC.ABC讲授新课
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.请一位同学说出已知、求证.已知:在△ABC中,


∠CAD，∠B=
∠C,AD=AD(公共边），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
ABCD证法一：作∠BAC的平分线AD.在 △BAD和△CAD中，∠BAD=


∠ADC，∠B=
∠C,AD=AD(公共边），∵△BAD≌△CAD（AAS）,∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.请同学们想一想：作等腰三角形底边上的中线可以证明吗？为什么？
ABCD证法二：作AD⊥BC，垂足为D.在 △BAD和△CAD中，∠ADB=


∠B=证C.求∠：AB=AC=BC.
ABCD从以上讲解我们可以得到什么结论？已知：在△ABC中，∠A=


这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.


ABC60°60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）.求证：AB=AC=BC.


推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法.


∠C,那么AB≠AC. 你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?小明是这样想的: 如图,在△ABC中,已知∠B≠
∠C,此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=
∠C, 但已知条件是 ∠B≠
∠C.“
∠B=∠C”与“∠B≠C∠”相矛盾，因此， AB≠AC.
小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.即CAB在△ABC中, 如果∠B≠


∠C . 但已知条件是∠B≠
∠C. “
∠B=与C”∠“∠B≠反C”相矛盾,因此,AB≠AC.∠证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.CAB
论证的新方法----反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity). 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=


∠ B，∠C中不能有两个角是直角.
∠B=90° ，那么∠A+
B+∠80°+C=1∠假C＞180°， 这与三角形的内角和定理相矛盾.∴∠设不成立. ∴△ABC中不能有两个直角.已知：△ABC.求证： ∠A，
求证: 一个三角形中不能有两个角是直角.(用反证法来证)证明：假设△ABC中有两个直角 ，不妨设∠A=


求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1, 那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都得小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证明:


例1 如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.ABCD36°36°2172°


∠2=180 °－ ∠A － ∠DBC － ∠C ＝ 36° (三角形内角和定理）.
∴∠A＝ ∠2.∴AD=BD(等角对等边）.∴
∠1= A ∠＋∠2= 72°= ）C，∴BD=BC (等角对等边∠.∴图中的等腰三角形有△ADB，△ABC，△BDC三个.
解：∵∠A=36°，∠DBC= 36°， ∠C= 72°，∴


例2 如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰直角三角形.CADB


△ABC、等腰Rt△ADC和等腰Rt
△CDB.
答：图中的等腰直角三角形有：等腰Rt


ABC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合.等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫作等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)【判定定理】有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称:等角对等边.


等腰三角形：•底角的两条平分线相等；•两条腰上的中线相等；•两条腰上的高线相等.ACBD●●E●●●●ACBMNACBPQ等边三角形（特殊的等腰三角形）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.【定义】【性质定理】有三边相等的三角形叫作等边三角形;


用反证法证题的一般步骤（1）假设命题的结论不成立;（2）从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果;（3）由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.