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1.1 二次函数第1章 二次函数
导入新课 下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.情景引入点击视频开始播放
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”------中科院数学与系统科学研究院 李邦河如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
函
数一次函数反比例函数y = kx+b (k≠0)(正比例函数) y = kx (k≠0)问题2 我们学过哪些函数？
k
？吧来学习起y思考 一个边长为 x 的正方形的面积 y 为多少们一y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？y = 6x2，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个函数不是我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我.k0
x
xSxx-=<<(050)2001，
2
Sxxx型次二立函数模=-+<<及二次函数的概念即建1050002，
新课讲授 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式.
2
yxx<<-=即10,10006
()
2
yxxx观与一次们它点？么共同有什表达式的函数所列察上面函数的表达式有什么不=-+<<同？10,0006000210006
问题2：某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价 y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系.
2
Sxxx+-=<<1050002，
2
xxxy结.项为常数 c项；一次归纳叫做总=-+<<其中 x 是自变量，a 为二次项系数， ax2 叫做二次项；b 为一次项系数，bx601000000021006，
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
2
m-7
ymx+=.3
()
2
�
m-=71,
m=22;由题可(2) �知解得m=3. 第 (2) 问易忽略二次项系数 a ≠ 0 这一限制条件，从而得出 m=3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视.
�
m+�30,
�
272,30,mm�-=�+��典例精析注意
例1 (1) m 取什么值时，此函数是正比例函数？(2) m 取什么值时，此函数是二次函数？解：(1) 由题可知解得
2
(1)y一先化简后判断练不练是不是是是x
1
(2)y
2
x
(3)yx(1x)
22
(4)y(x1)x
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
2. 把下列函数化成二次函数的一般式.(1) y = (x-2)(x-3)；(2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2；(3) y = -2(x+3)2.解：(1) y = (x-2)(x-3) = x2-5x+6;(2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2 = -x2+4x-6;(3) y = -2(x+3)2 = -2x2-12x-18.
范围
余 S (cm2) 下面积与 x 之间的函数表达式.分
析：本问题中的数量关系是： 木板
余- = 矩形面积下面积截去面积.解：木板
余边长积 S 与截去正方形下面 x 有如下函数关系： S = 120×80-4×x2 = -4x2+9600，0＜x≤40.x二次函数的自变量取值
例2 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x (cm)的正方形，求
范围是所有实数，
但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
归纳总结 二次函数的自变量的取值
挖一个长为 2x cm去，宽为 (x+1) cm的
小长方形．剩余部分y积为 的面 cm2. 写
出 y 与 x 之间的函数关系式，并指 y 是 x 的什么函数？解：由题意得 出y ＝122－2x(x+1)， 又∵
析：本题中的数量关系是： 剩余
面积=正方形面积-长方形面积.列二次函数关系式
x+1＜ 2x ≤ 12，1＜∴ x ≤ 6， 即 y ＝
4 (2x2－2x＋14－1＜x≤6)，
∴y 是 x 的二次函数.分
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中
练习2. 函数 y = (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n 是常数,且m≠0 B . m，n 是常数,且n≠0 C. m，n 是常数,且m≠n D . m，n 为
任何实数C1. 把 y = (2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____， 一次项系数为______，常数项为 .-3x2-1612
当堂
2
y=
x
1
y=+C1
2
x
3．下列函数是二次函数的是 ( )A．y＝2x＋1 B．C．y＝3x2＋1 D．
周 16 cm长为，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2.求:(1) y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值
范围；(2) 当 x = 3 时,矩形的面积.解：(1) y＝(8－x)x ＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当
x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
4. 矩形的
堂小结二次函数定
边是整式；自变量的
y 义= ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数）一般形式右
指数是 2 ；二次项系数 a ≠ 0.特
殊 y =形式ax2；y = ax2+bx；y = ax2+c (a ≠0，a
，b，c是常数）.
课
导入新课 下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.情景引入点击视频开始播放
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”------中科院数学与系统科学研究院 李邦河如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
函
数一次函数反比例函数y = kx+b (k≠0)(正比例函数) y = kx (k≠0)问题2 我们学过哪些函数？
k
？吧来学习起y思考 一个边长为 x 的正方形的面积 y 为多少们一y 是 x的函数吗？是我们学过的函数吗？y = 6x2，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.这个函数不是我们学过的函数.思考：这种函数叫什么？这节课我.k0
x
xSxx-=<<(050)2001，
2
Sxxx型次二立函数模=-+<<及二次函数的概念即建1050002，
新课讲授 问题1：学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式.
2
yxx<<-=即10,10006
()
2
yxxx观与一次们它点？么共同有什表达式的函数所列察上面函数的表达式有什么不=-+<<同？10,0006000210006
问题2：某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价 y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系.
2
Sxxx+-=<<1050002，
2
xxxy结.项为常数 c项；一次归纳叫做总=-+<<其中 x 是自变量，a 为二次项系数， ax2 叫做二次项；b 为一次项系数，bx601000000021006，
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
2
m-7
ymx+=.3
()
2
�
m-=71,
m=22;由题可(2) �知解得m=3. 第 (2) 问易忽略二次项系数 a ≠ 0 这一限制条件，从而得出 m=3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视.
�
m+�30,
�
272,30,mm�-=�+��典例精析注意
例1 (1) m 取什么值时，此函数是正比例函数？(2) m 取什么值时，此函数是二次函数？解：(1) 由题可知解得
2
(1)y一先化简后判断练不练是不是是是x
1
(2)y
2
x
(3)yx(1x)
22
(4)y(x1)x
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
2. 把下列函数化成二次函数的一般式.(1) y = (x-2)(x-3)；(2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2；(3) y = -2(x+3)2.解：(1) y = (x-2)(x-3) = x2-5x+6;(2) y = (x+2)(x-2)-2(x-1)2 = -x2+4x-6;(3) y = -2(x+3)2 = -2x2-12x-18.
范围
余 S (cm2) 下面积与 x 之间的函数表达式.分
析：本问题中的数量关系是： 木板
余- = 矩形面积下面积截去面积.解：木板
余边长积 S 与截去正方形下面 x 有如下函数关系： S = 120×80-4×x2 = -4x2+9600，0＜x≤40.x二次函数的自变量取值
例2 如图，一块矩形木板，长为 120 cm、宽为 80 cm，在木板 4 个角上各截去边长为 x (cm)的正方形，求
范围是所有实数，
但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
归纳总结 二次函数的自变量的取值
挖一个长为 2x cm去，宽为 (x+1) cm的
小长方形．剩余部分y积为 的面 cm2. 写
出 y 与 x 之间的函数关系式，并指 y 是 x 的什么函数？解：由题意得 出y ＝122－2x(x+1)， 又∵
析：本题中的数量关系是： 剩余
面积=正方形面积-长方形面积.列二次函数关系式
x+1＜ 2x ≤ 12，1＜∴ x ≤ 6， 即 y ＝
4 (2x2－2x＋14－1＜x≤6)，
∴y 是 x 的二次函数.分
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中
练习2. 函数 y = (m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m，n 是常数,且m≠0 B . m，n 是常数,且n≠0 C. m，n 是常数,且m≠n D . m，n 为
任何实数C1. 把 y = (2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____， 一次项系数为______，常数项为 .-3x2-1612
当堂
2
y=
x
1
y=+C1
2
x
3．下列函数是二次函数的是 ( )A．y＝2x＋1 B．C．y＝3x2＋1 D．
周 16 cm长为，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2.求:(1) y 与 x 之间的函数表达式及自变量 x 的取值
范围；(2) 当 x = 3 时,矩形的面积.解：(1) y＝(8－x)x ＝－x2＋8x (0＜x＜8)； (2) 当
x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
4. 矩形的
堂小结二次函数定
边是整式；自变量的
y 义= ax2+bx+c(a ≠0，a，b，c是常数）一般形式右
指数是 2 ；二次项系数 a ≠ 0.特
殊 y =形式ax2；y = ax2+bx；y = ax2+c (a ≠0，a
，b，c是常数）.
课
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