第1章 一元二次方程1.2　一元二次方程的解法（1）


回顾：2.把方程（3x+2）2=4（x+3）2化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项 .1.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m= .3. 如果x2=4，则 x的值为 .


：试一试2
2
＝如何解方程 x22 ？根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ . 2
　此一元二次方程的根为 x1＝ ， x2= .


2　 这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．解方程 x2＝2．2
解：x1 ＝ ，x2= .


∵x是4的平方根，
1x2＝　． 练一练：
4
∴x＝±2．即 x1＝2，x2＝－2．移项，得4x2＝1， 两边都除以4，得∵x是 的平方根，
1∴x＝　　．　　　　
4
1
即x1＝ ，x2＝　　．
2
1
1

2
2
解下列方程：（1）x2－4＝0； 　 （2）4x2－1＝0 ．解：移项，得 x2＝4，


 2
∴x＋1＝　　　　，　　　　冲一冲：
＋1－＝1x即2 .－1－＝2x，2
解方程：（x＋1）2＝ 2 .分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：∵ x＋1是2的平方根，


首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 .1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？【总结反思】


练一练：1.解下列方程：（1）x2=9 ； （2）9x2=4 ； （3）16 x2－25=0 ； （4）2x2－1=0.


2
2
（1）x14
（2）3x160
2
2
2
（3）2x11
（4）(x)2
2
2.解下列方程：


22
（1）4x11（2）2x13
2
2
（3）13x3
（4）32x14
课后练习：解下列方程：


【小结】1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2．感受转化的数学思想．（x＋h）2＝ k（h、k是常数，k≥0）．


1.2　一元二次方程的解法（2）


回顾： 1. 解一元二次方程： （1） x2＝5 ； （2）(x＋3)2＝5. 1. 解一元二次方程： （1） x2＝5 ； （2）(x＋3)2＝5.2.你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？ 2.你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？


怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？ 怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？ 比较：方程x2＋6x＋4＝0 与(x＋3)2＝5．比较：方程x2＋6x＋4＝0 与(x＋3)2＝5．解方程x2＋6x＋4＝0 的关键是什么？ 解方程x2＋6x＋4＝0 的关键是什么？ 试一试：


2
x6x4
2
x23x4
222
x23x343
2
（x3）5
x35
∴x35，x35
12
解方程：x2+6x+4=0 也能化成(x+h)2=k （h、k为常数，k≥0）的形式吗？两边开平方，得移项，得配方，得


由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为(x+h)2=k的形式（其中h、k都是常数），如果k≥0，再通过直接开平方法求出方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.小结：


2
2
x6x7
x4x3
222
x4x232
x2226x373
在配方时方程两边同时加上的常数是如何确定的？ 观察这些方程的变形，你有什么发现吗？方程两边都加上一次项系数一半的平方冲一冲：


)2；(2) x2＋8x＋ ＝(x＋ )2(3) x2－5x＋ ＝(x－ )2．(4) x2+ x＋ ＝(x+ )2．
)2；(2) x2＋8x＋ ＝(x＋ )2(3) x2－5x＋ ＝(x－ )2．(4) x2+ x＋ ＝(x+ )2．填空：(1) x2－2x ＋ ＝(x －
3
2
填空：(1) x2－2x ＋ ＝(x －


解下列方程：（1）x2－4x＋3＝0； （2） x2+10x＋20＝0； （3）x2＋3x－1＝0 ； （4）x2－7x＋12＝0 ． 解下列方程：（1）x2－4x＋3＝0； （2） x2+10x＋20＝0； （3）x2＋3x－1＝0 ； （4）x2－7x＋12＝0 ．练一练：


用配方法解一元二次方程的步骤：1.移项:2.配方:3.开方:4.求解:5.定解:把常数项移到方程的右边；方程两边都加上一次项系数一半的平方;方程两边开平方;解两个一元一次方程;写出原方程的解.小结：


【数学实验室】


【课堂小结】（1）用配方法解一元二次方程；（1）用配方法解一元二次方程；（2）感受转化的数学思想．（2）感受转化的数学思想．


1.2　一元二次方程的解法（3）


用配方法解下列方程：(1) x2－6x－16＝0；(2) x2＋3x－2＝0．


5后一个方程中的二次项系数变为1，即方程两边都除以2就得到前一个方程 ，这样就转化为学过的方程的形式，用配方法即可求出方程的解
2
试一试：比较方程x2－ x+1=0与方程2x2－5x+2=0有什么关系？


5
2
xx--=1 得配方，．
2
2
5525
��
2
xx=--++1 两边开平方，得 ∴ ， ， ．
��
2416
��
2
59
��
x-= ．
��
416
��
53
x-=� ．解：两边都除以2，得25102 xx-+=．移项，得
44
1
x2x
12
2
解方程2x2－5x＋2＝0.


41
2
xx=--0 ， 移项，得
33
41
2
xx-= ． 配方，得
33
22
4212
����
2
xx-+=+　，
����
3333
����
2
27
��
x-= ．两边开平方，得
��
39
��
27
x-=�　　∴　　．　　　　　　　　　．
33
2727
xx=+=-，冲一冲：
12
3333
解方程－3x2＋4x＋1＝0．解：两边都除以－3，得


【总结反思】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：（1）系数化为1．（2）移项．（3）配方．（4）开方．（5）求解．（6）定解．


1
2
想一想：方程2x2＋2x＋ ＝0， 2x2－x＋1＝0有解吗？如果有，你能求出它们的解吗？


1
2
2
(2)x2x10
(1)3x16x
2
2
2
(3)2x3x0
(4)2x7x20
练一练：1.解方程：


2.一个小球竖直上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t（s）有如下关系：h=24t-5t2经过多少时间后，小球在上抛点的距离是16m？


【课堂小结】2．感受转化的数学思想．2．感受转化的数学思想．1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？二次项系数不为1二次项系数不为1二次项系数化为1二次项系数化为1


1.2　一元二次方程的解法（4）


　　你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是常数，a≠0)吗？ 　　你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是常数，a≠0)吗？ 用配方法解下列一元二次方程：x2＋2x －3＝0．


bc
2
xx++=0b解：移项，得2．cxxaa+=-．配方，得
aa
22
bbcb
����
2
xx++=-+，即
����
aaaa22
����
2
2
bbac-4
��
x+=20(0)axbxca．++=�．解方程解方程
��
2
24aa
��
【试一试】 因为a≠0，所以方程两边都除以a，得


2
2
bbac-4
��
x+=．
��
2
24aa
��
bbac-4
x+=� ．
24aa
2
bbac-4
x+=� 即∵a．≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，
22aa
2
--�bbac4
\=x．
2a
【试一试】22


2
caxbx（0ac0）b2－4≥0，b2－4ac≥，a0
2
bacb4
x
2a
【概念】一般地，对于一元二次方程　　　　　　　　　 ，如果　　　　　　　那么方程的两个根为　　　　　　　　　，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法公式法.


2
bac<-04
【反思】当　　　　　　时，方程有实数根吗？


【冲一冲】 解下列方程：（1）x2 ＋3x ＋2 ＝0； （2）2(x2－2)＝7x.


2
bbac4
x
2a
xx特别注意:当 　 时没有实数根．240bac-<3．代入求根公式： 　　　　　　　．、．
【小结】用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出 的值，24bac-1．把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.4．写出方程的解：12


2业作后课【x】13x4
1.课本习题1.2，第4题；2.解方程（1）2x2+x+1=0 （2） 3.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。1.课本习题1.2，第4题；2.解方程（1）2x2+x+1=0 （2） 3.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数。


1.2　一元二次方程的解法（5）


、b.c 的值、4．写出方程的解：x1、x2．　　　　特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．3．代入求根公式：　　　　　　　　 ．
2
bacb4
x
2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出b2 －4ac 的值，1．把方程化成一般形式，并写出a


2
x23x30
【试一试】 (1) x2＋x－1＝0； (2)　　　　　　　； (3) 2x2－2x＋1＝0． 解下列方程：


2
axxbc（0a0)
【总结反思】当b2－4ac ＜ 0 时，方程没有实数根.当b2－4ac ＞ 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；一元二次方程 　 根的情况：根的判别式根的判别式


【冲一冲】1．不解方程，判别下列方程根的情况． (1) x2＋3x－1＝0；(2)2y2－3y＋4＝0．2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有实数根，则k的取值范围是 ( )．A．k≤－1 B．k≥－1；C．k＜－1 D．k＞－1．B


【小结】1．什么是一元二次方程根的判别式？1．什么是一元二次方程根的判别式？2．一元二次方程根有几种情况？2．一元二次方程根有几种情况？


1.2　一元二次方程的解法（6）


x2－x＝0? 既可以用配方法解，也可以用公式法来解.解法3：�