热点08 数列与不等式【命题趋势】在新高考卷的考点中，数列主要以两小和一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题中新高考比以往的考察有了很大的改变，以前是三角和数列在17题交替考查，现在作为主干知识必考内容，考察位置是17或18题，题型可以是多条件选择的开放式的题型。由于三角函数与数列均属于解答题第一题或第二题的位置，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目。对于不等式内容新教材删除了线性规划和不等式选讲，新高考主要考察不等式性质和基本不等式。基本不等式考察往往都是已基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等。专题针对高考中数列、不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式。请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结。【满分技巧】1、等差、等比数列如果记住基本的通项公式以及求和公式和性质，基本上所有的等差、等比数列问题都可以解决。2、数列求通项主要方法有：公式法、利用前n项和求通项、累加、累乘、构造等方法；这里要注意各个方法中递推关系的模型结构特点。3、数列求和问题主要包含裂项求和，分组求和，绝对值求和，错位相减求和，掌握固定的求和方式即可快速得到答案；这里要注意各个方法中数列通项的结构模型；本专题有相应的题目供参考。4、对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件和基本不等式的模型结构，对“1”的活用。 【考查题型】选择题、填空、解答题【常考知识】数列的概念、等差等比数列的概念和公式和性质、数列求通项的方法、数列求和的方法、不等式的性质、基本不等式【限时检测】（建议用时：90分钟）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1


a的前
{}S，且
n
n项和为n
S=44aaa++的值为（ ）A．11B．12C．13D．14【答案】B【分析】先由
11378
，则
S=得44a=，进而利用等差数列通项公式即可求得答案.【详解】解：由4
116
11()aa+
111
S==，可得44
11
aaa，故=+=82a设等差数列=，4
11166
2
{a的公差为}
n
d，则
aaaaaaa+=+++(-3ddd)(+故选：B.【点睛】.+本题考查等差数列前)(2)==213
3786666
n项和，等差数列通项公式，考查运算能力，是基础题.2．（2020年全国统
{}na是等比数列，且
aaa=++，1
123
一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设
aaaa+=，则678！aa++=（ ）A．12B．24C．30D．32原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究2+2
234
一、单选题1．（2020·云南省个旧市第一高级中学高三其他模拟（理））设等差数列


5
aaaqaaa++=++可求得结果.【详解】设等比数列
q的值，()
678123
已知条件求得再由
2
qqaaaa，++=++=11
a的公比为()
{}q，则
1231
n
232
qqaaaaqaqaqaqq因此++=++=++==，21
()
2341111
567525
qqqaaaaqaqaqaq本题主要考查等比数列基本【点睛】++=++=++==.故选：D.231
()
6781111
，
量的计3．（算，属于基础题．2018·陆川
a的前
{}且S,a>，500S=.设0
n
n项和为n1
中学高三其他模拟（理））等差数列
*
baaanN=�，则
()b的前
{}T取
nnnn++12
n
n项和n 的值为（ n ）A．23B．25C．23或24D．23或25【答案】D【分析】先
当数列得最大值时,
a的前25项为b的前23项为
{}{}
nn
依据条件知等差数列正数，从项第26起各项都为负数，所以可以判断
b的前
b为b为bb+=，故0{}
T取
n
24252425n项和n
正数，负数，正数，从第27项起各项都为负数，而
n的值为23或25．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3
得最大值时，
【答案】D【分析】根据


Q，等差数列aS=>0,0
150
a的公差
{}
n
d且20a>，0a>，0
123
L，进而可知，对
根据递推公式可得出
*
a在等式>，0
n�N，
n
任意的
332
��
32
ogol1glog1log12l(aaa=+=+++)()()
aa+=+两11()
221212nnn--
��
nn-1
边取对数可得
22
��，令
2
33
��
3
bb+=+lgog2lo
bb+，则=2log
nn212��-
nn-12
ba+，则=log1
()
b>，可得0
22
nn2��，所以，数列
n2
3
��
339
b+log
��ab++=+=，公比为googl1golgoll
n2()
122122
首项为
2
�是等比数列，且
2222，
39
4
即，-=-==+\bl3132gog316ol261gol2gol
()
52222
22
3
5og132log316log31log31la故选：=--=-.+B.【点睛】原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5
()
25222
2
令


apa，由+=+ll
()
nn+1
l，
”+1nnapaq=+如“这种形式通常转化为待定系数法求出再化列.5．为等比数（2020年浙江
高考数学省试知）已卷等差数列{an和项S1≠0，1dad�．记
n}的前n，公差
*
n�N，
1=b，S2bSS2下列等式不可能成立的是（ ）A．2
n+1=+n22–n，
2
2
bbb=【答案】D【分析】根据
aaa=D．
428428
a4=a2+a6B．24=b+b2b6C．
bSa+===-，而112bSa2，即可S+=aa
nnn++1222122nn+2+
题意可得，表示,2468,,出题中bbbb，再结
合等差数列的性质即可判断各等式是否【详解】成立．对于A，
a为等差数列，所以
{}
n
4426+=+可得，
因为数列根据等差数列的下标和性质，由
2aaa=+，A正确
426
；对于B，由题意可知，
bS1，+==-，122bSaa=∴S=+aa
nnn++1222122nn+2+
aab，=+aba=+，baa=+，baa=+．∴
2344786111281516
22aba=+，()
bbaaaa=++++．根据
478
26341112
31177,41288+=++=+可得原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6
等差数列的下标和性质，由
刑


abaabbaaa正确B+=++++，2=2=
()
26341112784
；对于C，
2
22
aaaddaaaadddadd=ad=-+-++=-=-，当1时，22273
()()()()
42811111
2
aaa=，C正确
428
；对于D，
22
222
dddaabaaa+=++=+=，169524132
()()
478111
22
addaadadabbaaa++=++=++=，14586492252
()()()()
283415161111
22
addadbbbd=-=-．-当2386142()
42811
2
(a113220d)dda-=+->即
ad�，bbb当->；0
d>时，01428
∴
22
3220dadad即-=+-，所以0bbb>-，D不0
11
d>的
22
高三其他模拟（理））已知c是双曲线半焦距，则大值是（ 最 ）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9
abc
根据


32
2D．3【答案】C【分析】根据
3B．2C．
22
cab=+，
题中条件，得到再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因
22
xy
baC(0,0)1:-=>>的
为双曲线半焦距，所以
22
c是
ab
22
cab=+，则
2222
abababababab+++++22
+�+====112
222222
22
cababab+++
ab+，当
ab故选：时，等号成立.=C.【点睛】本题主要考查由基本不等式求
且仅当
最值，考查双曲2.9．（线的性质，属于基础题型020·四川遂宁·高三
1
a=，
1
a满
{}S为数列
aaa=+，2
零模（理））已知正项等比数列n足又
2n
243
{a 的前}
n项和，则5S=n（ ）A．
311131
2 或2B．2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10
A．


15D．【答案】6B【分析】由等比中项的性质可求出
a，即可求出公比，
3
代入等比数列求和公式即可求解.【详解】正
a中，
{}
n
项等比数列
Q，aaa=+2
243
2
，\=+解得aa2
33
a=或2a=-（1
33
舍去）又
1
a=，
1
2
a
23
，\==解得q4
a
1
q=，2
1
(132)-
5
qa1)(-31
12
\===S
5
112--，故选：B原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11q
C．


a中，
{}a，=41a【分析】=，则352aa+=（ ）A．45B．54C．99D．81【答案】C利用等比数列的通项与基本性质，列方72
n
1
南焦作·高三一模（理））在等比数列
程求解即可【详解】设数列
324
a的公比为
{}aaq=，所以2299aaqq=+=+.故选C11．（2020年全国统
q，q=，所以3
n
4135
因为
}n{中，aa，=2aaa=，
1mnmn+
一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））数列若
155
aaa=-+++，则L22
kkk+++1210kB（ ）A．2=．3C．4D．5【答案】C【分析】取
a是等比数列，求得数列a的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于
{}{}
nn
m=，可得出数列1k的等式，由
*
k的值.【详解】在等式
k�N可求得
a
n+1
2\=，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12
令
aaa=中，aaaa==，2a
mnmn+m，可得=1nnn+11n
10．（2020·河


nn-1
a是以
{}a=，=�222
n
n
2为2为公比的等比数列，则
首项，以
10110k+
a�-�-21221
()()
k+1
k+051011
\=+-=-+=+=aaaL，122122
()()
kkk+++1210
1212--
k+15
k，解得+=51k=.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关4
\=，则22
键就是求出数列的通项公式，考查计2题.1算能力，属于中等．（2020·江西
a的
{}a>，公比为0q，前S，则“
n
1n项和为n
高三二模（理））已知等比数列首项
SSS+>”2
q>”1
354
是“的（ ）A．
充分不必要条件B．必要不充分条件C．
充分必要条件D．既不充分也+【答案】A【分析】由S3不必要条件S5＞2S4，可得a5＞a4，且
3
qq或->，分q＞101
a0>，得()
q，得q＞101
aqaq> ，且a0>，所以()
111
q0，，且b>0a+ =1，则（ b ）A．
1
221
ab-
ab+�B．
2>C．
22
loglog2ab2�-D．+ab+�【答案】ABD【分析】根据
22
ab，结+=1
合基本不等式及二次函数知识进行.求解【详解】对于A，
2
111
��
2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！=1，52a-+�
2222
��
aaaab-=-=+++1221a
()
222
��
所以


1
ab==时，等号成立，故A正确
且仅当2；对于B，
1
ab--1
22>=，故B正确
aba，所以=-->-1122；对于C，
2
ab+1
��
2oglogloglogloglabab+=�==-
22222��
24
��，当
1
ab==时，等号成立，故C不
且仅当正确；对于D，
2
2
ababab，+�+=+�++=，所以2ab2121
因为
()
1
ab==时，等号成立，故D正确
当且仅当2故选：；ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，
综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的心素养.15核．（2020·广东湛江·高三其他模拟）已知数列{
aalna-=-．则4
()
nnn+1
a足：0＜1a＜1，下列说
n}满
法正确） 的是（ A．数列{
a增后减B