直线、平面平行的判定及其性质　　　　教学内容：直线与平面平行的判定和性质　　【基础知识精讲】　　1.直线和平面的位置关系　　一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：　　(1)直线在平面内——直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.　　直线a在平面α内，记作aα.　　(2)直线和平面相交——直线和平面有且只有一个公共点.　　记作a∩α=A　　(3)直线和平面平行——如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作a∥α.　　直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.　　2.直线和平面平行的判定　　判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)　　即 a∥b,aα，bαa∥α第 1 页


　　证明 直线和平面平行的方法有：　　①依定义采用反证法　　②利用线面平行的判定定理　　③面面平行的性质定理也可证明　　3.直线和平面平行的性质定理　　性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).　　即 a∥α,aβ，α∩β=ba∥b.　　这为证线线平行积累了方法：　　①排除异面与相交 ②公理4 ③线面平行的性质定理　　【重点难点解析】　　本节重点是直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.　　例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AM∶FN=AC∶BF，求证：MN∥平面CBE.　　分析：欲证MN∥平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系第 2 页


的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.　　证：连AN并延长交BE的延长线于P.　　∵ BE∥AF，∴ ΔBNP∽ΔFNA.　　∴ =，则=　　即 =.　　又 =，=，　　∴ =.　　∴ MN∥CP，CP平面CBE.　　∴ MN∥平面CBE.　　例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.　　已知：α∩β=a,l∥α,l∥β.求证：l∥a.　　分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.　　证明：过l作平面交α于b.∵l∥α，由性质定理知l∥b.　　过l作平面交β于c.∵l∥β，由性质定理知l∥c.　　∴ b∥c，显然cβ.∴ 第 3 页


b∥β.　　又 bα，α∩β=a，∴ b∥a.　　又 l∥b.　　∴ l∥a.　　评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.　　例3 如图，在正四棱锥S—ABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP∶PC=1∶2，SQ∶SB=2∶3，SR∶RD=2∶1.求证：SA∥平面PQR.　　分析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.　　证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ON∥SA.　　∴RQ∥BD　　∴=而=　　∴=∴PM∥ON　　∵SA∥ON.∴SA∥PM,PM平面PQR　　∴ SA∥平面PQR.　　评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.　　三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向第 4 页


“线面平行”的转化.　　例4 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.　　证明 如图，设直线a∥平面α，点A∈α,A∈直线b,b∥a，欲证bα.事实上，∵b∥a，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，∵a∥α,∴a∥c，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.　　【难题巧解点拨】　　例1 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD=CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ.　　证 在ΔADC中，因AE∶AD=CF∶CD，故EF∥AC，而AC平面ACS，故EF∥平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF，故EF∥RQ(线面平行性质定理).　　例2 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且第 5 页


B′E=C′F求证：EF∥平面AC.　　分析 如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.　　证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN　　∵BB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB，BB′⊥BC　　∴EM⊥AB，FN⊥BC　　∴EM∥FN，∵AB′=BC′，B′E=C′F　　∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°　　∴RtΔAME≌RtΔBNF　　∴EM=FN　　∴四边形MNFE是平行四边形　　∴EF∥MN又MN平面AC　　∴EF∥平面AC　　证法2 过E作EG∥AB交BB′于G，连GF　　∴=　　∵B′E=C′F，B′A=C′B第 6 页


　　∴=∴FG∥B′C′∥BC　　又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B　　∴平面EFG∥平面AC　　又EF平面EFG　　∴EF∥平面AC　　例3 如图，四边形EFGH为四面体A—BCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB∥平面EFGH;(2)CD∥平面EFGH　　证明：(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG，　　∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.　　∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB.　　∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH.　　(2)同理可证：CD∥EH，∴CD∥平面EFGH.　　评析：由线线平行线面平行线线平行.　　【课本难题解答】　　1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.　　已知：a∥b,a∩α=A，求证：b和α相交.　　证明：假设bα或b∥α.第 7 页


　　若bα，∵b∥a，∴a∥α.　　这与a∩α=A矛盾，∴bα不成立.　　若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.　　∵b∥α,∴b∥c,又a∥b ∴a∥c　　∴a∥α这与a∩α=A矛盾.∴b∥α不成立.　　∴b与α相交.　　2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.　　已知：a∥b,aα，bβ，α∩β=c.　　求证：c∥a∥b　　【命题趋势分析】　　本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，它是高考中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.　　【典型热点考题】　　例1 在下列命题中，真命题是( )　　A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;　　B.设α—l—β是直二面角，若直线第 8 页


m⊥l，则m⊥n，m⊥β;　　C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行;　　D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.　　解 对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确;平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确;对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确;应选C.　　例2 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )　　A.有且仅有一条直线与a、b都垂直　　B.有一平面与a、b都垂直　　C.过直线a有且仅有一平面与b平行　　D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交　　解 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对;若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故第 9 页


选C.　　例3 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点;若有两条平行，则第三条必与之平行.　　已知：α∩β=a,α∩=b, ∩α=c.　　求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.　　证明：①如图一，设a∩b=A，　　∵α∩β=a.　　∴aα而A∈a.　　∴A∈α.　　又β∩=b　　∴b,而A∈b.　　∴A∈.　　则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.　　从而a、b、c三线共点.　　②如图二，若a∥b，显然c，b　　∴ a∥　　而 aα, α∩=c.　　∴ a∥c　　从而 a∥b∥c第 10 页


　　【同步达纲练习】　　一、选择题　　1.如果直线a平行于平面α，直线b∥a，点A∈α，A∈b,则b与α的位置关系是( )　　A.b∥α B.b∥α　　C.b∥α或bα D.b∩α=A　　2.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的线段，那么经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )　　A.平行 B.相交　　C.AC在平面内 D.以上都有可能　　3.平面内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是( )　　A.异面 B.相交　　C.异面或平行 D.异面或相交　　4.若AB、BC、CD是不在同�