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第二十二章 二次函数类型之一 二次函数的图象与性质1．将抛物线y＝x2－4x－4先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数解析式为( )A．y＝(x＋1)2－13 B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13 D．y＝(x＋1)2－32．若抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，－3)，则下列说法不正确的是()A．抛物线的开口向上B．抛物线的对称轴是直线x＝1C．当x＝1时，y的最大值为－4D．抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)3．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋b的大致图象为()图22－X－14．某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格：x…－2－1012…y…－11－21－2－5…由于粗心，他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是( )A．－11 B．－2 C．1 D．－55．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋2x－3的图象如图22－X－2所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是( )图22－X－2A．y1＜y2 B．y1＞y2C．y的最小值是－3 D．y的最小值是－4第 1 页
6．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．7．如图22－X－3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．图22－X－38．如图22－X－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④b2－4ac＞0.把正确结论的序号填在横线上__________．图22－X－49．已知抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．(1)求出m的值并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点坐标和它的顶点坐标；(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？图22－X－5类型之二 用待定系数法确定二次函数的解析式10．设抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________________________________________________________________________．11．如图22－X－6，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．图22－X－6类型之三 二次函数与一元二次方程、不等式的关系12．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2第 2 页
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝313．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图22－X－7所示，对称轴是直线x＝－1，与x轴交于点(1，0)，若y＜0，则x的取值范围是( )图22－X－7A．x＞0 B．x＞1C．x＜－3或x＞1 D．－3＜x＜1类型之四 二次函数的实际应用14．2019·云南草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)符合一次函数关系，如图22－X－8是y与x之间的函数关系图象．(1)求y与x之间的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．图22－X－8类型之五 图形面积的最值问题15．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．图22－X－9教师详解详析1．D [解析] 因为y＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，所以抛物线y＝x2－4x－4的顶点坐标为(2，－8)．把点(2，－8)先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度所得对应点的坐标为(－1，－3)，所以平移后的抛物线的函数解析式为y＝(x＋1)2－3.2．C [解析] 因为抛物线y＝x2－2x＋c中a＞0，所以抛物线的开口向上，故A项正确；因为对称轴为直线x＝－＝－＝1，故B项正确；第 3 页
因为抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，－3)，所以c＝－3，即抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3，当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，即抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，故D项正确；因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以当x＝1时，y的最小值为－4，故C项错误．故选C.3．B [解析] A项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向上，故A错误；B项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于0，故B正确；C项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故C错误；D项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故D错误．故选B.4．D [解析] 通过观察表格中的数据，发现对称轴是y轴，则当x＝－2与x＝2时的函数值相等，说明点(－2，－11)，(2，－5)中必有一个点的坐标是错误的．将(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，求得y＝－3x2＋1，当x＝－2与x＝2时，y＝－11.故选D.5．D [解析] y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，则该抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是－3，1.又y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴该抛物线的顶点坐标是(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.由于无法确定点A，B离对称轴x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故选项A，B错误；易得y的最小值是－4，故选项C错误，选项D正确．第 4 页
组：第 5 页
6．m≥－1 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－＝－.∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴≤1，解得m≥－1.7．答案不唯一，如－ [解析] 把点(0，－3)代入抛物线的函数解析式，得c＝－3，∴y＝x2＋bx－3.确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，假如过点(2，0)，代入函数解析式，得0＝4＋2b－3，∴b＝－.8．①②③④ [解析] 由抛物线的开口向下可推出a＜0，所以①正确；由图象可知：当x＝1时，y＞0，a＋b＋c＞0，所以②正确；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为直线x＝－＞0，所以③正确；由图象与x轴有两个交点可知：b2－4ac＞0，所以④正确．综上可知，正确的结论有①②③④.9．解：(1)由抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)，得m＝3，∴y＝－x2＋2x＋3.抛物线如图所示：(2)令－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．(4)由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．10．y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，∴函数解析式为y＝ax2＋bx＋2.∵点C在直线x＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3，∴可以建立以下两个方程
组(1)解得由方程
组(2)解得故答案为y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2.11．解：(1)把B(3，0)代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由y＝－x2＋mx＋3可得C(0，3)，把B(3，0), C(0，3)代入y＝kx＋b，得解得∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．12．B [解析] ∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是直线x＝.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的
另(2，0)一个交点是，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.13．C [解析] 设抛物线与x轴的
另(x，0)，则＝－1，一交点坐标为得x＝－3，∴抛物线与x轴的
另0(－3，一交点坐标为)，∴当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.14．解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，第 6 页
(1)(2)由方程
意，得解得∴y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)＝－2x2＋380x－6800＝－2(x－95)2＋11250，∵－2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大．∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为－2(40－95)2＋11250＝5200.15．解：(1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)及C(2，3)，得解得故抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x＋3.设直线AC的函数关系式为y＝kx＋n，由直线AC过点A(－1，0)及C(2，3)，得解得故直线AC的函数关系式为y＝x＋1.(2)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3)，∴PQ＝(－x2＋2x＋3)－(x＋1)＝－x2＋x＋2.又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝PQ·AG＝(－x2＋x＋2)×3＝－(x－)2＋，∴当x＝时，S△APC有最大值，最大值为.第 7 页
根据题
6．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．7．如图22－X－3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，－3)，请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b的值是________．图22－X－38．如图22－X－4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－＞0；④b2－4ac＞0.把正确结论的序号填在横线上__________．图22－X－49．已知抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)．(1)求出m的值并画出这条抛物线；(2)求抛物线与x轴的交点坐标和它的顶点坐标；(3)当x取什么值时，抛物线在x轴上方？(4)当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？图22－X－5类型之二 用待定系数法确定二次函数的解析式10．设抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为________________________________________________________________________．11．如图22－X－6，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．图22－X－6类型之三 二次函数与一元二次方程、不等式的关系12．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2第 2 页
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝313．二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图22－X－7所示，对称轴是直线x＝－1，与x轴交于点(1，0)，若y＜0，则x的取值范围是( )图22－X－7A．x＞0 B．x＞1C．x＜－3或x＞1 D．－3＜x＜1类型之四 二次函数的实际应用14．2019·云南草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)符合一次函数关系，如图22－X－8是y与x之间的函数关系图象．(1)求y与x之间的函数解析式(也称关系式)；(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．图22－X－8类型之五 图形面积的最值问题15．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C(2，3)两点．(1)求抛物线及直线AC的函数关系式；(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．图22－X－9教师详解详析1．D [解析] 因为y＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，所以抛物线y＝x2－4x－4的顶点坐标为(2，－8)．把点(2，－8)先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度所得对应点的坐标为(－1，－3)，所以平移后的抛物线的函数解析式为y＝(x＋1)2－3.2．C [解析] 因为抛物线y＝x2－2x＋c中a＞0，所以抛物线的开口向上，故A项正确；因为对称轴为直线x＝－＝－＝1，故B项正确；第 3 页
因为抛物线y＝x2－2x＋c与y轴的交点坐标为(0，－3)，所以c＝－3，即抛物线的函数解析式为y＝x2－2x－3，当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，即抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，故D项正确；因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以当x＝1时，y的最小值为－4，故C项错误．故选C.3．B [解析] A项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向上，故A错误；B项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于0，故B正确；C项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故C错误；D项，由一次函数y＝ax＋b的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2＋b的图象应该开口向下，故D错误．故选B.4．D [解析] 通过观察表格中的数据，发现对称轴是y轴，则当x＝－2与x＝2时的函数值相等，说明点(－2，－11)，(2，－5)中必有一个点的坐标是错误的．将(－1，－2)，(0，1)，(1，－2)代入y＝ax2＋bx＋c，求得y＝－3x2＋1，当x＝－2与x＝2时，y＝－11.故选D.5．D [解析] y＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，则该抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是－3，1.又y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴该抛物线的顶点坐标是(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.由于无法确定点A，B离对称轴x＝－1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故选项A，B错误；易得y的最小值是－4，故选项C错误，选项D正确．第 4 页
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6．m≥－1 [解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－＝－.∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴≤1，解得m≥－1.7．答案不唯一，如－ [解析] 把点(0，－3)代入抛物线的函数解析式，得c＝－3，∴y＝x2＋bx－3.确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，假如过点(2，0)，代入函数解析式，得0＝4＋2b－3，∴b＝－.8．①②③④ [解析] 由抛物线的开口向下可推出a＜0，所以①正确；由图象可知：当x＝1时，y＞0，a＋b＋c＞0，所以②正确；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为直线x＝－＞0，所以③正确；由图象与x轴有两个交点可知：b2－4ac＞0，所以④正确．综上可知，正确的结论有①②③④.9．解：(1)由抛物线y＝－x2＋(m－1)x＋m与y轴交于点(0，3)，得m＝3，∴y＝－x2＋2x＋3.抛物线如图所示：(2)令－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当－1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．(4)由图象可知：当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．10．y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2[解析] ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(0，2)，∴函数解析式为y＝ax2＋bx＋2.∵点C在直线x＝2上且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3，∴可以建立以下两个方程
组(1)解得由方程
组(2)解得故答案为y＝x2－x＋2或y＝－x2＋x＋2.11．解：(1)把B(3，0)代入y＝－x2＋mx＋3，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．(2)如图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，则此时PA＋PC的值最小．设直线BC的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由y＝－x2＋mx＋3可得C(0，3)，把B(3，0), C(0，3)代入y＝kx＋b，得解得∴直线BC的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．12．B [解析] ∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是直线x＝.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性知，该抛物线与x轴的
另(2，0)一个交点是，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是x1＝1，x2＝2.13．C [解析] 设抛物线与x轴的
另(x，0)，则＝－1，一交点坐标为得x＝－3，∴抛物线与x轴的
另0(－3，一交点坐标为)，∴当y＜0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.14．解：(1)设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b，第 6 页
(1)(2)由方程
意，得解得∴y与x之间的函数解析式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)＝－2x2＋380x－6800＝－2(x－95)2＋11250，∵－2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大．∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为－2(40－95)2＋11250＝5200.15．解：(1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(－1，0)及C(2，3)，得解得故抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x＋3.设直线AC的函数关系式为y＝kx＋n，由直线AC过点A(－1，0)及C(2，3)，得解得故直线AC的函数关系式为y＝x＋1.(2)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H，过点C作CG⊥x轴于点G，设Q(x，x＋1)，则P(x，－x2＋2x＋3)，∴PQ＝(－x2＋2x＋3)－(x＋1)＝－x2＋x＋2.又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝PQ·AG＝(－x2＋x＋2)×3＝－(x－)2＋，∴当x＝时，S△APC有最大值，最大值为.第 7 页
根据题
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