第十章　概率与统计一遍过·高考数学


第35练　随机事件与概率


　解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B,将4个1和2个0随机排成一行有种排法,将1A,1B,1C,1D排成一行有种排法,再将0A,0B插空有种排法,所以2个0不相邻的概率P==.解法二(含有相同元素的排列)
　将4个1和2个0安排在6个位置,则选择2个位置安排0,共有种排法;将4个1排成一行,把2个0插空,即在5个位置中选2个位置安排0,共有种排法.所以2个0不相邻的概率P==.. 答案
1. [2021全国甲卷·10,5分,难度★☆☆☆☆]将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为A.B.C.D. 1.C


　从7个整数中随机取2个不同的数,共有=21(种)取法,取得的2个数互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种,根据古典概型的概率公式,得这2个数互质的概率为=.故选D. 答案
2. [2022新高考Ⅰ卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为A.B.C.D. 2.D


　由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为==20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P==.故选A. 答案
3. [2019全国Ⅰ卷·6,5分,难度★☆☆☆☆]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“ ——”和阴爻“ ─ ─ ”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.B.C.D. 3.A


　由题意知,第二天在没有志愿者帮忙的情况下,积压订单超过500+(1 600-1 200)=900(份)的概率为0.05,因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,至少需要志愿者=18(名),故选B. 答案
4. [2020全国Ⅱ卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1 200份订单的配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名4.B


　不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数,有种不同的取法,这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率P==,故选C. 答案
5 .[2018全国Ⅱ卷·8,5分,难度★★☆☆☆]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A.B.C.D. 5.C


　　　　. 6.
　从甲、乙等5名同学中随机选3名,有种情况,其中甲、乙都入选有种情况,所以甲、乙都入选的概率P==. 答案
6. [2022全国乙卷·13,5分,难度★☆☆☆☆]从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为


　　　　. 7.
　由题意,根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P==. 答案
7 . [2021上海卷·10,5分,难度★☆☆☆☆]已知花博会有4个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人每人选2个场馆去参观,则他们的选择中,恰有一个场馆相同的概率为


　　　　. 8.
　从正方体的8个顶点中任选4个,取法有=70(种).其中4个点共面有以下两种情况:(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点,如图1,有6种取法; (2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点,如图2,也有6种取法.所以所取的4个点在同一个平面的概率P==. 答案
8. [2022全国甲卷·15,5分,难度★☆☆☆☆]从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为


;y=-x①;②y=-③y=x3;④=.从中任选2个,则事件“所选2y个函数的图象有且仅率为有一个公共点”的概
　　　　.  9.
根据函数图从4个函数中任选2个函数的方法数为=6,　象易知,只有函数①③、函数①④的图象有且仅,公共点有一个故所求的概率P==. 答案
9. [2017上海卷·9,5分,难度★★☆☆☆]已知4个函数:


独立性
第36练　事件的相互


棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一各盘比赛结盘,果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜2为p1,p的概率分别,p3,且p3>p2>p1>0.记
该棋手连胜两盘,p的概率为则A.p与该
棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该
棋手在第二盘与甲最比赛,p大C.该
棋手在第二盘与乙最比赛,p大D.该
棋手在第二盘与,丙比赛p最大1.D
　解法一　设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘在第二P的概率为,甲盘与乙比赛连胜两盘P的概率为乙,在第二
盘与丙比赛连胜两盘)P丙,由题意可知,P甲=2p1[p2(1-p3的概率为+p3(1-p2)]=2p1p2+2p1p3-4p1p2p3,P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=2p1p2+2p2p3-4p1p2p3,P丙=2p3[p1(1-p2)+p2(1-p1)]=2p1p3+2p2p3-4p1p2p3.所以P丙-P甲=2p2(p3-p1)>0,P丙-P乙=2p1(p3-p2)>0,所以P丙最
大,故选D.解法二(特殊值
法)　不妨=p1设0.4,p2=6,0.5,p3=则该0.棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘P甲的概率=2p1[p2(1-p3)+p3(1-p2)]=0.4;在第二
盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙=2p2[p1(1-p3)+p3(1-p1)]=0.52;在第二
1.[2022全国乙卷·10,5分,难度★★☆☆☆]某盘与丙比赛连胜两盘pP丙=2p3[的概率1(1-p2)+p2(1-p1)]=0.6.所以P丙最案,故选D.答大


制乒乓球比赛,每赢一球当某1得,分局打成1010∶平每,后球交换发球权,先多得2分的一方该获胜,甲、乙两位同学结束.局比赛
进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时各球0.甲得分的概率为4,的结果相互
独立.在某局双方1010∶平甲先,后发球,两人又打了X个球该X.(1)求P(局比赛结束=2);(2)求事件“X=4且
甲获胜”的概率.2.【
参考答案】10(1　X=2就是10)∶平后,两人又打了2个球该个,则这局比赛结束2球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且
甲就是获胜,1010∶平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各
得1分,后两球均0.因此所求概率为[0.5×(1-为甲得分.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.答案
2. [2019全国Ⅱ卷·18,12分,难度★★☆☆☆]11分


丙三位同学进行约定赛制羽毛球比赛,如下:累
计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮每场;空比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负
者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人
最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙
首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲
连胜四场的概率;(2)求需要
进行第五场比赛的概率;(3)求
丙最终获胜的概率. 3.【
参考答案】　(1)甲连胜四场的概率为. 答案
3.[2020全国Ⅰ卷·19,12分,难度★★☆☆☆]甲、乙、


赛制,至少需要进行四场至多需要比赛,进行五场比赛.比赛四
场结束,共有三种情况:甲
连胜四场的概率为;乙
连胜四场的概率为;丙
上场后连胜三场的概率为.所以需要
进行第五场比赛.1---=的概率为(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四
场结束且丙最终获胜的概率为;比赛五
场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三:种情况胜胜负胜,胜负
空胜,负空,胜胜概率分别为,,.因此
丙最终获胜的概率为+++=.
(2)根据


卷·17,12分,难度★★☆☆☆]电影
公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理:得到下表 好评
型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部
数14050300200800510好评
率0.40.20.150.250.20.1
率是指:一电影类中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假
设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从
电影公司收集的电影1中随机选取部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)从第
四类电影和第五类电影中各1随机选取部,估部获1计恰有得好评的概率.(3)假
设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评类电影.用“ξk=1”率相等k表示第得到人们=,“ξk喜欢0”表示第k类电影
没有得到人们1,(k=喜欢2,3,4,5,6).写出方,Dξ1,Dξ2差Dξ3,Dξ4,Dξ的大小,Dξ65关系.电影类
4. [2018北京


参考答案】由题意知(1)　,样本中电影的总部+140+50+300数是200+800+510第2 000,=四类电影中获得
好评的电影部故所求概率为200×0.25=50.数是=0.025.(2)设事件A为“从第
四类电影中随机选出的电影获得好评为“从第,”B事件五类电影中随机选出的电影获得
好评.故所求概率为P(”A+B)=P(A)+P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B).由题意知:P(A)估
估0.25,P(B)计为计为0.2.故所求概率
估50.2计为×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)Dξ1>Dξ4>Dξ2=Dξ5>Dξ3>Dξ6. 答案
4.【


离散型随机变量及其分
布列、期望与方差
第37练　


Ⅲ·3,5分卷,难度★☆☆☆☆]在一组
样本数据中,1,2,3,4出现的频pp1,p2,率分别为3p4,且pi=1,,则下面四种情形,对中应样本的标准差最是A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1大的一组=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 1.B
选对于A　项,该组数据的平均=(1+数为4)×0.1+(2+3)×0.4=2.5,方
差5)=(1-2.为2×0.1+(2-2.5)2×0.4+(3-2.5)2×0.4+(4-2.5)2×0.1=0.65;对于B选
项,该组数据的平均.4+=(1+4)×0数为(2+3)×0.1=2.5,方
差5)=(1-2.为2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85;对于C选
项,该组数据的平均.2+=(1+4)×0数�