第十二章　概率与统计一遍过·高考数学


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考点39　随机事件的概率、古典概型与几何概型


过基础真题分层1 基础题组


过基础·真题分层1 基础题组1. [2015北京卷·17,13分,难度★☆☆☆☆]某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?题组1　求随机事件的频率与概率 商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××


　(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.(3)与(1)同理,可得:顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1.所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
过基础·真题分层1 基础题组题组1　求随机事件的频率与概率答案1.【解析】


℃有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.题组1　求随机事件的频率与概率最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574
过基础·真题分层1 基础题组2. [2017全国Ⅲ卷·18,12分,难度★★☆☆☆]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)


　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
过基础·真题分层1 基础题组题组1　求随机事件的频率与概率答案2.【解析】


　【解析】),开机密码的所有可能结果有:(M,1　(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是,故选C.
过基础·真题分层1 基础题组3. [2016全国Ⅲ卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A.B.C.D. 题组2　古典概型答案3.C


　【解析】　解法一设5件产品中合格品分别为A1,A2,A3,2　件次品分别为B1,B2,则从5件产品中任取2件的所有基本事件为:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10个,其中恰有一件次品的所有基本事件为:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6个.故所求的概率为P==0.6.解法二
　所求概率P==0.6.
过基础·真题分层1 基础题组4. [2015广东卷·7,5分,难度★☆☆☆☆]已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为A.0.4B.0.6C.0.8D.1题组2　古典概型答案4.B


　【解析】　解法一记A,B,C 3位同学的学号分别为a,b,　c,用有序实数组表示3人拿到的卡片情况,如(a,b,c)表示A同学拿到a号,B同学拿到b号,C同学拿到c号,3人可能拿到的卡片情况有:(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),共6种,其中恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的情况为:(a,c,b),(c,b,a),(b,a,c),共3种,所以恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的概率P=,故选C.解法二
　3位同学拿到的卡片的所有可能结果有=6(种),而恰有1位同学分到写有自己学号的卡片有3种结果,所以所求概率P=,故选C.
过基础·真题分层1 基础题组5. [2021八省(市)联考·2,5分,难度★☆☆☆☆]在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位同学分到写有自己学号的卡片的概率为A.B.C.D. 题组2　古典概型答案5.C


　【解析】根据题意作出图形,如图所示,在O,A,　B,C,D中任取3点,有10种可能情况,分别为(OAB),(OAC), (OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况,所以在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为,故选A.【真题互鉴】
　(2019全国Ⅱ文,4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项
指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　A.B.C.D.答案:B点
评:这两道题目从题干中的数据到解析基本相同,都考查了用列举法求古典概型的概率,因此考生在日常复习中,一定
要注重往年的高考真题.
过基础·真题分层1 基础题组6. [2020全国Ⅰ卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]设O为正方形ABCD的中心, 在O,A,B,C,D中任取3点, 则取到的3点共线的概率为A.B.C.D. 题组2　古典概型答案6.A


3名女同学和2同学中任选人参加社区服务,则选中的2人都是女A.0.6同学的概率为B.0.5C.0.4D.0.3题组2　古典概型答案7.D
　【解析】　将2名男同学分别记为x,y,3名女人a,同学分别记为,c.设“选中的2b都是女A,同学”为事件则从5名
同学中任选2人参加社区服务,(x的所有可能情况有y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,其中事件A包含
的可能情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故P(A)==0.3.故选D. 【方法
总结】　对,于古典概型计算事件A的概率的具体步骤:分析一次①试验由多少个基本事件组成(即求n=?);
②分析事件A包含多少个基本事件(即求m=?);③利用P(公式A)=,求得事件A的概率.在求解n,m的值时,可利用
列举法逐一列出基本事件求解,列举基本事件时要做到不重不漏.
过基础·真题分层1 基础题组7. [2018全国Ⅱ卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]从2名男


直角三角形三条边的则边长,称这3个数为一组勾股.数从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数
构成一组勾股A数的概率为.B.C.D. 题组2　古典概型答案8.C
　【解析】从1,2,3,4,5中任取　3个不同的数,有{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}共10个基本事件,其中这3个数能
构成一组勾股数的只有{3,4,5},
∴所求概率为,选C. 【
梳理总结】　求解古典概型概率问题的关键是找出样本空间中基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数,常
用方法是列举法、列表法、树状图法等.
过基础·真题分层1 基础题组8. [2015全国Ⅰ卷·4,5分,难度★☆☆☆☆]如果3个正整数可作为一个


新高考)袋
中共有15个除了颜色外完全相同的个,球其中有10白球,5个从红球.袋中任取2个个球2所取的,球中恰有1个
白球,1个红球 A.B.C.D.1的概率为题组2　古典概型答案9.B
　【解析】　由题意得基本事件的总数为,恰有1个白球个与1红球P,所以所求概率的基本事件个数为=.
过基础·真题分层1 基础题组9. [2015广东卷·4,5分,难度★☆☆☆☆](理、


卷·5,5分,难度★☆☆☆☆]袋
中有形状、大小都相同的4只只,球其中1白球,1只只红球2,黄球.从中一次随机摸出2只球,则这只2不同的概率为球颜色
　　　　. 题组2　古典概型答案10.
　【解析】　记2只黄球分别为黄1,黄2,从4只球中一次随机摸出2只球,可能的情况有白红、白黄1、白黄2、
红黄1、红黄2、只1黄2,共6种黄其中2,球颜色所以所求概率5种,不同的情况有P=.
过基础·真题分层1 基础题组10. [2015江苏


新高考地区的学生不需要掌握,文科、理科学生需·)11. [2017全国Ⅰ卷要掌握2,5分,难度★☆☆☆☆]如图,正方形ABCD内
的图形来自中国古代的太极正方形图.内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心
.在正方形对称内随机取一点,则此点取自黑色A.B.C.D.部分的概率是 题组3　几何概型答案11.B
　【解析】　不妨设正方形的边长则正方形的面为2,积为4,正方形的内切圆的半径为1,面积为π.因为正方形
内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,所以黑色部分的面积故此点取自为,黑色故选概率为,部分的B.【方法
总结】　几何概型的概率计算公式中的“几何度量”可以为长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与大小有关,与形
状和位置无关.解题的步骤为:先求出满足条的基本事件件A对应AN(的“几何度量”),再求出