0的向量．单位向量：长度等于
1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2. 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：
rrr
rrr．⑷运算性质：①交换律：abba+=+rrrr；②结合律：
ababab-�+�+
rr
rrrr；③rr
rrr．⑸坐标运算：设
abcabc++=++
()()aaa+=+=00
r，则r
r，．3. r向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设
axy=,
()xyb=,yyaxxb+=++,
()()
11
221212
r，则r
r，．设rA、B两点的坐标分别为
axy=,bxy=,yabxxy--=-,
()()()
11
221212
uuur．4. 向量数乘运算：⑴实数
xy，,xy，则,A-=B-yyxx,
()()()
1122
1212
r．①
l与向量ar的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作la
rr；②当0
llaa=
当的方向与ar的方向相同；rr的方向与r的方向相反；当
>时，llal，，则C90
⑴


2
-，即1
i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i与－1的关系:i就是1
22
-的一个平方根，即方程1 ．（4）i的周期性：
x=-的一个根，方程1x-i=-的另一个根是1
41n+42n+43n+4n
ii =，i= -， 1ii =， -i复数=．2.数系的扩充：1
实数ab)(0=
�
�
ab+i纯虚数ab0)(i=
�
�
虚数bba+�i(0)
�
�
非纯虚 数3.复数的定义： 形如aba�+)0(i
�
�
baba�+i)(，的数叫复数，R
a叫复数的实部， 叫复数的虚部．全体复数所成的集 b 合叫做复数集，用字母
C表示4.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即
abzabiR+�=()，，把复数表示成
abi+的形式，叫做复数的代数形式．5.复数与实数、虚数、纯虚数及
0的关系 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果
ac=，
a，c，
，bd�R，那么bdca+=+iibd 7.将复数的实部与虚部的=平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作z. 对于复数
22
zab=+ ，它的模i
zab=二、复数的几何意义 +1. 复平面、实轴、虚轴： 复数
abzab+=�i)(与有序实数对，Rab，是一一对应关系．点a，纵坐标是3
()
Z的横坐标是
一、复数的概念1.虚数单位i: （1）它的平方等于


abzab=�+()i，可用点RbaZ(做复平面，也叫高斯平面，，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫 )
b，复数
y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2. 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为
x轴叫做实轴，
00，，它所确定的复数是
()
z+=表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．=复数00i0
一一对应复平面内的点
Zab()一、 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．，复数的四则运算1.复数1z与
zabi=+
�����
z的和的定义：
2
zz+=(cdba+++=ii)()(adcb与z+++2.复数1)()i
12
z的差的定义：
2
zz-=(cbda-++=ii)()(adbc:复数的加法运算满足交换律-+-3.)()i
12
zzzz=++4.复数的加法运算满足结合律:
1221
()()zzzzzz=++++5.乘法运算规则： 设
123123
zab=+，iczd=+(ia、c、
b、d�R)是任意两个复数，那么它们的积
12
cdazzabcdacbdb在所得的结果中把其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，=++=-++iii
()()()()
12
2
i换成.-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6乘法运算律：（1）1
zzzzzz()2=（）()
123123
()()zzzzzz��=��（3）
123123
zzzzzzz+=+7.复数除法定义：满足
()
1231213
ybacdx数的++=+复iiixyi+(x、
()()()y�R)叫复数abi数除以复+cdi+的商，记为：
abi+
()diabic或者+�+()
cdi+8.除法运算规则：设复数
a、c，xy+（i、xy�R)，利用
ab(+ ib�R)，除以
cd(+ id�R)，其商为
ab+i
22
(cdccdd-=+于是将+ii)()
cd+的分母有理化得：原式i
dcbabacbdacbad+-+�-++-)i(])i(i[)i()i(i
()()iacbdbcadacbdbcad++-+-
===
==+i
22
222222
dcdcdccd++-+ )i()i(i
cdcdcd二、 ++．+共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于
0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数．第三节 复数的三角表示1、因为 a=rcosθ，b=rsinθ,所以 z=a + bi= rcosθ+ rsinθi=r（cosθ+sinθi）其中 r 是复数 z 的模，r=根号下 a2+b2；θ是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 OZ 所在射线为终边的角，叫做复数 z=a + bi 的幅角，我们规定在 0≤θ≤2 范围内4



出 z1，与z2对应的向量，然
后 把向量OZ1绕点 O 按逆时针向方旋转角θ2，再的它把模变为原来的r2倍
，得向量 OZ，到OZ 表示的复数就是积 z1z2. 4、复数的除法r1(cosθ1+sinθ1i)÷r2(cosθ2+sinθ2i)=r1÷r2【cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2) 也就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的幅角等于被除数的幅角减
去除数的幅角所得的差。从
复数运算来看算复数代数形式的加减运，的几何意义，就是相应平面向量的加减运算；复数的乘除运算的几何意义，就是平面向量的
旋转、伸缩第
八章 立体几何初步1.1柱
、锥、台、球的结构特 征 （1）
棱柱且定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，：每相邻共个四边形的公两边都互相平行，由
这些面所围成的几何体。分类：以底面多边形的边数作为分类的标
准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各
''''''
顶点字母，如五棱柱端点字母，如五棱柱
EABCD或用对角线的ABCDE
AD几何特
征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧形；面角面都是平行四边、对侧棱平行且相等；平行于底面的
截面是与底面全等的多边形。（2）
棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共
顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标
准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各
'''''
顶点字母，如五棱锥
P5ABCDE
的幅角θ的值为幅角的主值；r（cosθ+sinθi）叫做复数的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a + bi 叫做复数的代数表达式，简称代数形式。2、复数的三角表示式的乘法公式：设 z1= r1(cosθ1+sinθ1i)，z2=r2(cosθ2+sinθ2i) z1z2 =r1(cosθ1+sinθ1i)×r2(cosθ2+sinθ2i)=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】也就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的和。3、复数相乘的几何意义：两个复数相乘时，先分别画


征：侧角面、对面都是三角形；平行于底面的截似面面相似，其相与底比等于顶点到截面距离与高的
比的平方。（3）
棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标
准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各
'''''
顶点字母，如五棱台
P几何特ABCDE
征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯侧棱 形 ③交于原棱锥的顶点（4）圆
柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴其余三边旋转,旋转所成的曲面所围成的几何体几何特
征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂侧；直④面展开图是一个矩形。（5）圆
锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转旋转轴,一周所成的曲面所围成的几何体几何特
征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆
台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特
征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）
球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特
征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。1.2空间
几何体的三视图和直观图（
斜二测画法的步骤（：1）.平行于坐标轴的线
依x（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于然平行于坐标轴；，z轴的线长度不变；（3）.画法要
写好。用
斜二测画法画出长方体的步骤）画1）画轴（2）画底面（：（3侧棱（4）成图1.3 空间
几何体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特
'
h为
殊，何体表面积公式（c为底面周几，h为高长斜高，l为母线）
1
SchS2hrSrl
Sch'
直棱柱侧面积 圆柱侧 圆锥侧面积
正棱锥侧面积
2
1
S(rR)l
S(cc)h'
圆台侧面积
正棱台侧 面积 12
2
22

S2rrlSrrl
SrlrlRR
圆锥表
圆柱表
圆台表 （3）
柱体、锥体、台体的体积公式
2
1
VSh=
锥
VSh=
VShrh==p3
柱
圆柱
1
2
Vrh
圆锥
3
111
''''22
ShVSSS=++()rRRrVhSSShS++=++=)()(p
台 圆台（4）
333
4
3
p ； SR
球=球2=面4Rp6
球体的表面积和体积公式：V
3
几何特


置关系2.1空间
点、直线、平面之间的位置关系（1）平面
描述平面的概念： A.①性说明B. ；平面是无限伸展的；
②平面的表示：通常用希腊α、β字母、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对
顶点的字母来表示，如平面BC。
a内，记作a内，记作A
A�；点A不在平面a�点与直线的关系：点A的直线al上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A
③点与平面的关系：点A在平面
l；直线与平面的关系：直线l