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⑶三角形不等式：A材高一下学期人教教版必修第二册知识点新六章 平面向量及其应用第 *
⑵运算律：①设向量共线定理：向量5. ⑷运算性质：①交换律：平面向量基本定理：如果6. & & † d e 4 G y C Œ ) r = [ @ . & � Ž � a共面直线∥α => aβ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 — 2.1.4 α间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：A 空b cO 8ef & ) –d9 » &O gh ¢ r à .
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L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线
2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l βB
Α P
a∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a βB βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ= a a∥b β∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质 α
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间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
用简单随机抽样的办法抽取。立彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在，体单位之程度。总
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质第九章 统计
1．总体和样本
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。简单随机抽样 ¢ro † , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．’“ & Ò Ó × ° 8� ‰ * † = È ) = + × 8� ‰• *2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
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的样本。明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
总成构来起合本样子些这将，后最，本体样子个方法抽取样本。取抽法办的样抽用系或样抽机随单简用采中次层或一类型相需则，时体总断推料资本样用要果如。较比互要行先进或究研门专行进体总子的次层同不对于便是要说，别差显明有果如。点特的本样次几比对，样抽始开本样的同从，下件条的许允查调在以可。布分不则主变有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。排序顺小大的量变助辅按元单体总，用使供可量助辅的关相标指查调与种某有果如，是的表该子总体，所有的样本进而代表总体。重为更。单要
2、．样本标准差：
1、均值：
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简分层抽样1．分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个两种方法：1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3．分层的比例问题： （1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，用样本的数字特征估计总体的数字特征3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，
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频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
≤1；我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
件；的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的频率；随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟叫做事件A的概率，记作P(A)，0≤P(A)定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
第十章 概 率
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间�
而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；（2）不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；（3）随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；（4）基本事件：试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的时间叫基本事（5）基本事件空间：所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母Ω表
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⑶三角形不等式：A材高一下学期人教教版必修第二册知识点新六章 平面向量及其应用第 *
⑵运算律：①设向量共线定理：向量5. ⑷运算性质：①交换律：平面向量基本定理：如果6. & & † d e 4 G y C Œ ) r = [ @ . & � Ž � a共面直线∥α => aβ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 — 2.1.4 α间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：A 空b cO 8ef & ) –d9 » &O gh ¢ r à .
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L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线
2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l βB
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a∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a βB βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αa β a∥bα∩β= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：α∥βα∩γ= a a∥b β∩γ= b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质 α
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间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
用简单随机抽样的办法抽取。立彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在，体单位之程度。总
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ，
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质第九章 统计
1．总体和样本
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。简单随机抽样 ¢ro † , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的总数叫做总体容量．’“ & Ò Ó × ° 8� ‰ * † = È ) = + × 8� ‰• *2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独3．简单随机抽样常用的方法： （1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证4．抽签法: （1）给调查对象群体中的每一个对象编号； （2）准备抽签的工具，实施抽签 （3）对样本中的每一个个体进行测量或调查 例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5．随机数表法： 例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。系统抽样1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
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的样本。明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
总成构来起合本样子些这将，后最，本体样子个方法抽取样本。取抽法办的样抽用系或样抽机随单简用采中次层或一类型相需则，时体总断推料资本样用要果如。较比互要行先进或究研门专行进体总子的次层同不对于便是要说，别差显明有果如。点特的本样次几比对，样抽始开本样的同从，下件条的许允查调在以可。布分不则主变有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。排序顺小大的量变助辅按元单体总，用使供可量助辅的关相标指查调与种某有果如，是的表该子总体，所有的样本进而代表总体。重为更。单要
2、．样本标准差：
1、均值：
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简分层抽样1．分层抽样（类型抽样）：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个两种方法：1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代分层标准：（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3．分层的比例问题： （1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。 （2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，用样本的数字特征估计总体的数字特征3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，
10
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频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
≤1；我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
件；的次数为事件A出现的频数；称事件A出现的比例为事件A出现的频率；随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常熟叫做事件A的概率，记作P(A)，0≤P(A)定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
第十章 概 率
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间�
而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在某种条件下，一定会发生的事件，叫做必然事件；（2）不可能事件：在某种条件下，一定不会发生的事件，叫做不可能事件；（3）随机事件：在某种条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件；（4）基本事件：试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的时间叫基本事（5）基本事件空间：所有基本事件构成的集合，叫做基本事件空间，用大写希腊字母Ω表
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