三角函数的概念、图像与性质（一）
教 师：苗金利
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三角函数的概念、图像与性质
知识要点：三角函数的图象和性质
=cosyx
=tanyx
=sinyx
图象
定义域
值域
单调区间
奇偶性
对称轴
对称中心
最小正周期
2、周期性 例题分析： 例1 已知
3sin5
α=，且α����������������α. ���������������� 例2 已知
sinmα=（≠m0），求α����������������.
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1tan3
例3 已知α=−，求下列各式的值： （1）
4cos3sinsin5cosα−+α
； （2）
αα
22
osn2sincos3csiα+⋅−ααα； （3）
2
sin2sincos3ααα+⋅−. 例4 化简：（1）
sincottancscα++α
； （2）
αα
nin1sin1sin1si1s+−−−+αα
（α���������������� （3）
αα
tantansin1sectansin1cscxxxx
. 例5 已知
xxx+⋅+⋅++
1sincos5
αα+=，α∈(0,)π.求下列各式的值： （1）
sincosα−α； （2）
tan�����
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22
sn2sincos22sincos4cosixxxxxx−⋅
例6 已知=，求tanx. 例7 化简：
⋅−
si2sincosncos1−⋅++AAAA例 . 8 求证：（1）
sossinsin1cossin1co1c−+=+++ααα
； （2）
ααα
nincoscos1si1s+=−αα
. 例9 计算下列各式的值： （1）
αα
12sin10cos10cos3501sin100−°°
=__________； （2）
2
°−−°
132131sincos6tan10cot243ππππ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
2222
−+−=__________； （3）已知
απsin()431πα
−=，则cos()4+=__________.
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例10 求下列函数的值域、最值： （1）
ππ536π
yx=−os(234c)，≤≤x； （
2）yxx=+4co3sins； （3）
2
yxx−=+cos4cos52； （4）
2cos22cosxy−=−
. 例11 求下列函数的单调区间： （1）
x
ππ
yx=+sin()4 ； （2）yx=−(cos)32.
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补充参考答案： 例题分析： 例1 解：∵
��������−��
α������������ cosα�−�������α�−�����α�−�����α� cscα��例
�����m
22
2 解：∵sinα�m(≠m0) ∴cscα�= 则1sin1mcosαα−=±=±−（α������������������
α
+”，α������������������−”，下同）
2
sec1m1msintancosm1α1cotmm−=±
α=±− αα==±− α
22
14315311453⎛⎞−×−⎜⎟⎝⎠=−+
43tantan5−α
例3 解：（1）原式==
α+
1costan2tan3tan2tan31tan
2222
（2）原式=αααααα+−=+−+
()()
111723192219⎡⎤⎛⎞=+×−−=−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦+

11117tan2tan32311tan93219
⎛⎞
22
（3）原式=ααα+−−=×−=−⎜⎟+⎝⎠+
()
cossincossincossincoscossincossin1sincossincoscossinα
22222
αααααααα+++===+++
()
例4 解：（1）原式=α
ααααααα
22222
nin1sin1sin1si1s+−−−−α
()α
()n1si1sicosn+αan−+= −2tαα
（2）原式==α�
αα
22
sin1sinsin11111cossincoscoscoscostansin111sin11sin1cossinsincosxxxxxxxx
⎛⎞++++⎜⎟⎝⎠⋅=⋅=⎛⎞++++⎜⎟⎝⎠
αα
（3）原式=x
xxxxxx
π,π2s121incos25
⎛⎞∴∈⎜⎟⎝⎠
例5 解：（1）πcos1,sin,0ααα+=∈ α则+= αα
()
12sincos2522527411255⎛⎞−×−=⎜⎟⎝⎠
∴=− αα+−∴−=csin4sinososcsinoscαααααα=
()
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sincos1sincos7α+ααα711tan1tanα+4tan3
（2）由于=∴=− ∴α=−
− α
2
tan2tan22tan4xxx−
2
例6 解：原式可化为= ∴−= +n9ta6tan0xx∴tan3x=
−
222
例7 解：原式=osincos2sscossincossincossincinA+−=++++−AAAAAAAAA()
π52π,2ππ44
⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦
=−++cincososssinAAAA ∴当Akk 原式=2sinA
3π2kπ-π,2π44
⎛⎞∈+⎜⎟⎝⎠
当Ak 原式=2cosA
�
⎡⎤−
�������������������������α
1cossin1sinsin1cos11cos⎛⎞⎝⎠+⎜⎟++−⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ααααα()
⎢α⎥++
ααααα
⎢⎥
例7 （1）证明：左==
⎢⎥+++
()
⎢⎥
α
⎣⎦ =
ssin1cos1cos1sincosinααα=++⎛⎞⎜⎟+++⎝⎠sin1cosα
=+右
αααα
1sincoscos1sin+αα
22
（2）证明：∵ssin1sin1sin1oc= +−=−αααα∴=−
()()
αα
16 13
例8 （1）1 （2）（3）−�
π5π36π42ππ333π2π3
例9 解：（1）∵−≤≤x ≤≤−x则x−=时 =− 4y
min
ππ233x−=
当时 =2y ∴∈−y���
[]
max
（2）略
2
5412cos48yx⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠ cos1x∴=−
（3）时 =s1− coy7x=时 3y= 7,3y∴∈−
[]
minmax
yx22cos2222cos2cos()
（4）
xx−−+==−+−−
43y4,03y
⎡⎤∴∈−
当cos1x=时 =0y 当cos1x=−时 =−
maxmin
⎢⎥
⎣⎦
πππ2π2π242kxk
例10 解：（1）f (x)在−≤+≤+ k∈Z时
3ππ2π,2π44
即xkk⎡⎤∈−++⎢⎥⎣⎦ k∈Z f (x)单调递增
ππ32π2ππ242kxk+≤+≤+
k∈Z
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π52π,π2π44
即x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦kk k∈Z 单调递减
πcos23yx⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠ 2ππ22ππ3kxk≤−≤+
（2）k∈Z
π2π,ππ63xkk⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦
即k∈Z 单调递减
π2ππ22π3kxk−<−≤ πππ,π36xkk⎡⎤∈−+⎢⎥⎣⎦
k∈Z 即k∈Z 单调递增
3ππ2π,2π44xkkk⎡⎤∈−++∈⎢⎥⎣⎦
例11 （1）Z （） f (x)单调递增
π5π2π,2π44xkkk⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦
Z （） f (x)单调递减
π2ππ,π63xkkk⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦
（2）Z （） f (x)单调递减
πππ,π36xkkk⎡⎤∈−+∈⎢⎥⎣⎦
Z （） f (x)单调递增

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