苏科版九年级下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2. 的性质：上加下减。


的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；


⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．


当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．


⑴在的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．⑵在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：


便．一般来说，有如下几种
情况已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. ：4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种
情况 1. 关于轴对称，可以用一般式或顶点式表达 关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是；关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线
绕顶点旋）180°转 关于顶点对称后，得到的解析式是；
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简


无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，
因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算
的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，
再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后
再写出其对称抛物线的表达式．十
、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点
情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特
殊情况.图象与轴的交点个数：①当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离. ②当时，图象与轴只有一个交点；③当时，图象与轴没有交点. 当时，图象
落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象
落在轴的下方，无2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；论为任何实数，都有．3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
关于顶点对称后，得到的解析式是． 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然


由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判
断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判
断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可
由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的
还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下
面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联
系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴
交点二次三项式的值无恒一元二次方程为正无实数根.二次函数图
像参考：十
一、函数的应用二次函数应用十
二、二次函数考查重点与常见题1型．
考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数


像经则的值是 过原点， 2．
综合考查正比例、反比例二次函数的图、一次函数、像，习题的特点是在同一
直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如
果函数的图像在第一、二、三象限内，那么函数的图像大致 ） y 是（ y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．
考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，
习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线
经,6(0,3)，(4过)两点，对称轴为，求这条抛物线的解析式。4．
考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关
试题为解答≠已知抛物线（a题，如：0）与x轴的两个交点的横坐标是
－1、3，与y轴交点的纵坐标是
－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．
考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例
题经典】由
抛物线的位置确定系数的符号
已知以为自变量的二次函数的图


像 1，则点在（ ） 如图 A．第一�