CP.12.，则该棱锥的体积为( )A如图，已知直四棱柱=3B.C.2D.36
PABC-中，是边长为△2的等边三角形，BCA
PAPB==，2
ABCDABCD-的底面ABCD为直角梯形，
1111ADBC，//
AD，AD，PC的中点，
CDP=，分别为，O，E32
ADCD^，且CADB==，4211
△为正三角形，则三棱锥PADEPOB的体积为( )A.4B.3C.2-D.13.在底面为正三角形的三棱柱111ABCABC-中，
AA=，该三棱柱的体积的最大值为( )A.3B.3
AB=，12
23C.6D.334.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是( )A.
12pB.86pC.24pD.40p5.已知四棱锥
PABCDACD的体积是363，底面-B是正方形，△是等边三角形，平面PAB
PAB^平面ABCD，则四棱锥PABCD-的外接球的体积为( )A.
9911637
ππ
1083π6.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
2821πB.
2C.2D.
S
2π，侧面积分别为甲和
SV
甲甲
=2=
SVSV
乙，体积分别为V甲和乙.若乙，则乙( )
2024届高考数学立体几何专项练——（2）空间几何体的表面积和体积1.在三棱锥


510
10D.
22C.
47.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为
12π，则该圆锥的体积为( )A.
123π8.已知
4πB.43πC.93πD.
93
△是面积为ABCO的等边三角形，且其顶点都在球4的球面上.若球O的表面积为
16π，则O到平面ABC的距离为( )A.
3
3B.2C.1D.329.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为36π，且
333( )��，则该正四棱锥体积的取值范围是A.l
��81��1827��2764
18,,,
������
44443
��B.��C.��D.[18,27]10.（多选）已知一个圆柱和一个圆雉的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( ).A.圆柱的侧面积为
22
2pB.圆锥的侧面积为R2于亭阁式建筑、园林建筑C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆锥的表面积最小11.似为（多选）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见p.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值近似为66，侧棱长近R
21米，则下列结论正确的是( ).A.正四棱锥的底面边长近似为3米B.正四棱锥的高近似为3米C.正四棱锥的侧面积近似为
483平方米D.正四棱锥的体积近似为123立方米
A.5B.


CH，其结构式可看成一个正四面体，其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处，而碳原子恰好在这个正四面体的中心，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连，若我们把每个原子看成一个质点，两个氢原子之间的距离为1，则( )A.碳原子与氢原子之间的距离为64B.正四面体外接球的体积为
4
3π
2C.正四面体的体积为
2
12D.任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为
1
-13.若三棱锥
3
PABC-中PA，PB，PC两两互相垂直，PC=，则其体积的最大值为___________.14.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为___________.15.如图，三棱锥3
PAPB+=，4
ABCD-的所有顶点都在球O的表面上，平面
ABD^平面BCD，
AB=，则球O的表面积为_______________.16.如图，球O的半径为R，有一圆柱内接于球O，且，2O分别为该圆柱上、下底面的圆心.已知当圆柱的侧面积最大时，它的体积，则球O的表面积为___________.3
DBCCDA===，1BD=，2
O
1
16π
V=
27
12.（多选）已知甲烷的化学式为


ABCDABCD-中，BA=，1AA=，则该棱台的体积为________.2
1111111
AB=，2
17.在正四棱台


△是边长为2的等边三角形，ABC
PC=，所以6
CDAB^，所以3PDCD==，又
BPAP，所以==2PDAB^，
222
PDCDPC+=，所以PDCD^，又ABCDD=I，CD�平面ABC，所以
AB，
111
VDPS=��=����=1332
PABCABC-△，故选A.2.答案：C解析：因为P，O分别为
PD^平面ABC，所以332
AD，AD的中点，所以由直棱柱的性质知
11PO^平面ABCD，又
3
ADPO==，连接中，易知CO，在直角梯形ABCD32
△为正三角形，PAD2
AD=，所以4
11
SOBCB==���=32322
以△为，因为的中点，所EPCCOB
22
11111
VVV===��=��=OPS32232
EPOBCPOBPBCO----C，所以该三棱柱的体积的最大值△，故选C.3.答案：D解析：设三棱柱111ABABC3的高为h，当三棱柱为直三棱柱时，其体积最大，则h的最大值为BCO
22236
13
2
VhS==����=3332
maxmax.选C△.故D答案：4.ABC
22
答案以及解析1.答案：A解析：如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为


ab=4
�
�
ac=8
�
�
bc=8
�，解得
abc=，16a=，2b=，2c=，设该三棱锥外接球的半径为R，则4
2222
2
(2)24Rabc=++=，所以
SR故选=p=p.解析：由已知可得C.5.答案：A244
13
633=，则���ABABAB
23BACD，设球心为O，O到平面，则由AB=的距离为x，球O的半径为R6
22222
333(33)+++=，所以-，解得3x=xx
OPOA=，得
4
3
VR==π2821π
22
球.故选A.6.答案：C解析：解法一：因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合
R=++=，33321
3
S
甲
=2
S
乙可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2:1.不妨设两个圆锥的母线长为
l=，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为3
r，r，高分别为1h，h，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以124rp=p，
122
22p=p，得rr=，2r=.由勾股定理得，1
212
1
2
prh
11
V45
甲3
===10
1
V2
22
乙.故选C.解法二：设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为
2222
prh
22
rhl，=-=5rhl=-=，所以22
1122
3
r，r，高分别为1h，
12
2
nlp
1
S
prl
甲
12p
===2
2
rn
11
Srlpnlp
乙，得22
==.由2
h，侧面展开图的圆心角分别为1n，n，则由
rn
222p22
解析：由题意可知三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a，b，c，则


4p2p4p2p2
n=，n=，所以2=p，lr2p=，得lrrl=，
12121
nn+=p，所以2
12
33333
1522
2222
rl=.由勾股定理得，hlrl=-=，hlrl=-=，所以
21122
333
1
2
prh
11
V
45
甲
3
===10
1
V2
22
乙.故选C.7.答案：C解析：设圆锥的内切球的半径为r，则
prh
22
3
2
4π12rπ3，所以=r=.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为
33
=，则圆锥的体积3
333r=，圆锥的底面半径为3
1
2
VC.解析：设等边三角形，因为其面积为a=���=.故选的边长为C8.答案：CABπ39333π
3
93
4，所以1393224aa��=，解得
233
ara�==.设球积为O=的半径为R，因为球O的表面3
a故=.3△的外接圆半径ABC
323
222
2
16π，所以4π16Rπ=，得dRr=-=.故选C.9.答案：C解析：通解：如图，设该球的球心为O，半径为R，正四棱锥的底边长为a，高为h，1
RO.所以=的距离到平面ABC4
题意知


�
2
222
lha=+()
�
�
2
�
2
4�
222
3
RhRa=-+()()
36p=p，解得R
�
R=.由题意及图可得3�，解得2
3
22
�
ll
h==
�
�
26R
�4242
4
11��llll
l22
22
�
Vllha==��-�-=(22)(33)3
al=-2��
�331861818
�，所以正四棱锥的体积18
��，所以
52
41ll��
33
�
Vlll==--��)333(4
��
95496
��，令�
V=，得0l=，所以当62326�；当02633�时，，当0y�<，所以函数0ytt=-在
32332


����
1333
3231
,,
����
t=时，y=；当t=时，
����
2332
��上单调递增，在��上单调递减.又当
392
3333232764
y=；当t=时，y=；所以，所以��y��.所以该正四棱维的体积的取值范围是V
8288943
2764
��
,
��
43
��，故选C.10.答案：CD解析：对于A，
Q圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，
2
S224，故，=p�=pA错误；B对于RRR
\圆柱的侧面积
Q圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，
1
222
SRRRRp，故知圆柱的侧面积为A=�p�+=，由B错误；对于C52(2)
\圆雉的侧面积2
2
2
RS圆柱的侧面积与球的表面积相等，故p，\，圆柱的表面积=C正确；对于D4
4p，球的表面积R2
222
RRRSp=+p=p，圆锥的表面积624
1
2222
SRRRpp，球的表面积+=p+=5()51SR=p，4
23
\圆锥的表面积最小，故D正确.故选CD.11.答案：BD解析：如图，在正四棱锥
SABCD-中，O为正方形ABCD的中心，则SO^平面ABCD，则
6
tan2设底面边长为�=.，则aSAO
�为侧棱与底面所成的角，且SAO6
3
AOASOaOS=��=.atn
OAa=，2
3


2
��
3
2
(2)21aa+=
��
��
3
tR△中，AOS��，所以a6米，高米，则正四棱雉的底面边长为米，=为33
1
S==�，平方米�体积)�(2643342
△的高为BCS31922=-(米)，所以侧面积2
1
2
V=��=(立方米)，故选BD.12.答案：ACD解析：如图所示，正四面体ABCD中，点O是正四面体的中心，连接OA，OB，OC，OD，于是63123
3
�，连接
O
OAOBOCOD===.设点O在平面BCD内的射影为
2
��
36
233�
AO=-=1
��
BO�=�=，所以��
33
��，
BO�，正四面体的棱长为1，则
323
366
OA=�=，则碳原子与氢原子之间的距离为64，选项A正确；由A可知，OA为正四面体外接球的半径，则正四面体外接球的体积为
434
3
��
4π66π
�=
��
��
348
��，B错误；正四面体的体积
1362
V=��=，C正确；设
a�，在(0,π)
43123�，其中=BCOa△中，由余弦定理得BOC
222
OBOCBC+-1
1
cosa==--，D正确.故选ACD.
23OBOC�，故任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为3
在


2
11111PAPB+
��
BPVPCSPAPBAP==ף=���=�23
PABCPAB-，当且仅△时取等号，所以当2PAPB==��
332222
��
(V)=.14.答案：2
PABC-
max
2
π
3解析：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球.圆锥
PE及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则
RBE1
sin�===，所以BPE
OPR=，所以3
OPPB3
2
R=，所以内切球的体积
2222
BRPBEPE=，所以==-=-34221
2
422
3
VR==，即该圆锥内半径最大的球的体积为πππ
333.15.答案：
3π
13.答案：2解析：依题意得


在，△中，由ADBBD=，2
AD=，1
222
AB=，得3
ADBDAB+=，则ADBD^，又平�