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第3节 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量| a || b |cos__θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝| a || b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos θ e.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝＝.(3)夹角：cos θ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，BM＝MC，则BA·BM＝()A. B. C. D.答案 B解析 ∵BM＝MC，∴BM＝BC，∴BA·BM＝BA·BC＝|BA||BC|cos ＝×3×3×＝.
3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )A.|a|＝|b| B.a⊥cC.b∥c D.θ＝135°答案 BD解析 由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为( )A.2 B.2 C.3 D.4答案 B解析 由a·b＝a·c，可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，因为|a|≠0，所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，所以c在a上的投影向量的长度为||c|cos〈a，c〉|＝2.5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案 解析 法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.考点一 数量积的计算例1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.答案 －1解析 如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.(2)(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝，则|PD|＝__________；PB·PD＝__________.答案 －1解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝＝.易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1).∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点，
六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取
值范围是( )A.(－2，6) B.(－6，2) C.(－2，4) D.(－4，6)答案 A解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴
建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).(2)(2022·石家庄调
研)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的
最大值为________.答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时等号成立.∴PB·PC的
最大值等于13. 考点二 数量积的应用角度1 夹角与垂直例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )A.－ B.－ C. D.
∴|PD|＝＝.PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.训练1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正
二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的
值为( )A. B. C.6 D.答案 A解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.角度2 平面向量的模例3 (1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的
值是( )A.24 B.2 C.－24 D.－2答案 B解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，得|a－2b|＝＝＝＝2.(2)(2021·衡
水联考)若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取
值范围为________.答案 [0，4]解析 设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的
最大值是________.答案 ＋1解析 法一 由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分
别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝.作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.所以点P在以C为
圆心，1为半径的圆上.
答案 D解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.(2)(2021·宜昌
时，|OP|取得最大值＋1.故|c|的
最大值是＋1.法二 由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为
圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝＋1.法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，由已知得||c|－|≤1，所以|c|≤1＋，故|c|max＝＋1.感悟提升 (1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用
来解决有关角度、垂直问题.(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，
再利用余弦定理等方法求解.训练2 (1)(多选)(2022·湖
南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1答案 BC解析 |a＋b|＝＝，故A错
误；因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错
误；cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处
动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的
最大值是________.答案 1＋解析 设D(x，y)，由|CD|＝1，得(x�
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.2.(2021·湖州二模)在边长为3的等边三角形ABC中，BM＝MC，则BA·BM＝()A. B. C. D.答案 B解析 ∵BM＝MC，∴BM＝BC，∴BA·BM＝BA·BC＝|BA||BC|cos ＝×3×3×＝.
3.(多选)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )A.|a|＝|b| B.a⊥cC.b∥c D.θ＝135°答案 BD解析 由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则|a|＝，|b|＝2，故A不正确；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；cos θ＝＝＝－，所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.4.(2021·衡阳一模)非零向量a，b，c满足a·b＝a·c，a与b的夹角为，|b|＝4，则c在a上的投影向量的长度为( )A.2 B.2 C.3 D.4答案 B解析 由a·b＝a·c，可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，因为|a|≠0，所以|c|cos〈a，c〉＝|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝2，所以c在a上的投影向量的长度为||c|cos〈a，c〉|＝2.5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案 解析 法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.法二 由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.考点一 数量积的计算例1 (1)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则BD·AE＝________.答案 －1解析 如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.则BD·AE＝(AD－AB)·(AB＋BE)＝AD·AB＋AD·BE－AB2－AB·BE＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1.(2)(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP＝，则|PD|＝__________；PB·PD＝__________.答案 －1解析 法一 ∵AP＝(AB＋AC)，∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，∴|PD|＝＝.易得PB＝(0，－1)，PD＝(－2，1).∴PB·PD＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD中，由AP＝(AB＋AC)得点P为BC的中点，
六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取
值范围是( )A.(－2，6) B.(－6，2) C.(－2，4) D.(－4，6)答案 A解析 如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴
建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).设P(x，y)，则AP＝(x，y)，AB＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以AP·AB＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).(2)(2022·石家庄调
研)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的
最大值为________.答案 13解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时等号成立.∴PB·PC的
最大值等于13. 考点二 数量积的应用角度1 夹角与垂直例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )A.－ B.－ C. D.
∴|PD|＝＝.PB·PD＝PB·(PC＋CD)＝PB·PC＋PB·CD＝－PB2＋0＝－1.感悟提升 平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.训练1 (1)(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正
二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的
值为( )A. B. C.6 D.答案 A解析 因为AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，所以有AP·BC＝(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AB·AC＝(λ－1)AB·AC－λAB2＋AC2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝.角度2 平面向量的模例3 (1)如果|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，则|a－2b|的
值是( )A.24 B.2 C.－24 D.－2答案 B解析 由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，得|a－2b|＝＝＝＝2.(2)(2021·衡
水联考)若向量a，b满足a＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取
值范围为________.答案 [0，4]解析 设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cos α，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cos α≤16，所以0≤|2a－b|≤4.(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的
最大值是________.答案 ＋1解析 法一 由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分
别作OA＝a，OB＝b，作OC＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC|＝.作OP＝c，则|c－a－b|＝|OP－OC|＝|CP|＝1.所以点P在以C为
圆心，1为半径的圆上.
答案 D解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.(2)(2021·宜昌
时，|OP|取得最大值＋1.故|c|的
最大值是＋1.法二 由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA＝a＝(1，0)，OB＝b＝(0，1).设c＝OC＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为
圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝＋1.法三 易知|a＋b|＝，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－|，由已知得||c|－|≤1，所以|c|≤1＋，故|c|max＝＋1.感悟提升 (1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cos θ＝(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用
来解决有关角度、垂直问题.(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，
再利用余弦定理等方法求解.训练2 (1)(多选)(2022·湖
南三校联考)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则( )A.|a＋b|＝2 B.a与b垂直C.a与a－b的夹角为 D.|a－b|＝1答案 BC解析 |a＋b|＝＝，故A错
误；因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，|a－b|＝，故D错
误；cos〈a，a－b〉＝＝＝，所以a与a－b的夹角为，故C正确.
由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处
动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的
最大值是________.答案 1＋解析 设D(x，y)，由|CD|＝1，得(x�
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