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∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.推论：若存在实数t，使OP＝OA＋tAB＝(1－t)OA＋tOB(O为空间任意一点)，则P，A，B三点共线．2．共面向量基本定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C共面． 要点2 空间向量数量积的应用(1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论一般用于证明空间中的垂直关系．(2)|a|2＝a2，此结论一般用于求空间中线段的长度．(3)cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间角的问题．(4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论一般用于求空间中的距离问题． 要点3 空间向量在立体几何中的应用设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇒a
∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cos θ＝线面夹角l，α的夹角为θ，sin θ＝面面夹角α，β的夹角为θ，cos θ＝注意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤；②二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．第二章 直线和圆的方程 要点1 直线的方程
【新教材人教A版数学选择性必修第一册全册知识点总结第一章 空间向量与立体几何 要点1 共线、共面向量基本定理1．共线向量基本定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a
已知条件方程适用范围点斜式点P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和直线在y轴上的截距为by＝kx＋b两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)＝斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线截距式直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b＋＝1斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)所有直线 要点2 两条直线的位置关系 要点3 平面上的距离公式(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 要点4 圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为.3．求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可． 要点5 直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的判定方法关系相交相切相离几何法dr代数法Δ>0Δ＝0ΔR＋rd＝R＋rR－r0Δ＝0Δr)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δb>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)几何图形集合表示{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|>0}{M|||MF2|－|MF1||＝2a，01e＝1通径长2p
焦半径|MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM|MF1|＝a＋exM，当点M在右支上时，|MF2|＝－a＋exM；当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM|MF|＝＋xM 要点2 椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论1．椭圆设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点；(2)离心率e＝＝，e＝；(3)|PF1|·|PF2|＝，S△PF1F2＝b2tan.2．双曲线设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)离心率e＝＝，e＝；(2)|PF1|·|PF2|＝，S△PF1F2＝. 要点3 抛物线焦点弦的相关结论已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ.则(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切；(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2；(3)|PF|＝，|FQ|＝，从而|PQ|＝，＋＝，S△OPQ＝.
∥b⇔a＝kb，k∈R线面平行l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0面面平行α∥β⇒u∥v⇔u＝kv，k∈R线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0线线夹角l，m的夹角为θ，cos θ＝线面夹角l，α的夹角为θ，sin θ＝面面夹角α，β的夹角为θ，cos θ＝注意：①线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围都为0≤θ≤；②二面角的范围为[0，π]，解题时应具体分析二面角是锐角还是钝角．第二章 直线和圆的方程 要点1 直线的方程
【新教材人教A版数学选择性必修第一册全册知识点总结第一章 空间向量与立体几何 要点1 共线、共面向量基本定理1．共线向量基本定理对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a
已知条件方程适用范围点斜式点P0(x0，y0)和斜率ky－y0＝k(x－x0)斜率存在，即适用于与x轴不垂直的直线斜截式斜率k和直线在y轴上的截距为by＝kx＋b两点式点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)＝斜率存在且不为0，即适用于与两坐标轴均不垂直的直线截距式直线在x轴上的截距为a和直线在y轴上的截距为b＋＝1斜率存在且不为0，直线不过原点，即适用于不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)所有直线 要点2 两条直线的位置关系 要点3 平面上的距离公式(1)任意两点间的距离：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0，Ax＋By＋C2＝0(其中A与B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 要点4 圆的方程1．圆的标准方程圆心为(a，b)，半径为r(r>0)的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，圆心为，半径为.3．求圆的方程的方法(1)几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方程．(2)待定系数法：设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x－a)2＋(y－b)2＝r2或一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，利用条件求出a，b，r或D，E，F即可． 要点5 直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系的判定方法关系相交相切相离几何法dr代数法Δ>0Δ＝0ΔR＋rd＝R＋rR－r0Δ＝0Δr)分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消元后所得的一元二次方程的根的判别式．由于利用代数法求出Δb>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)几何图形集合表示{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|>0}{M|||MF2|－|MF1||＝2a，01e＝1通径长2p
焦半径|MF1|＝a＋exM，|MF2|＝a－exM|MF1|＝a＋exM，当点M在右支上时，|MF2|＝－a＋exM；当点M在左支上时，|MF1|＝－a－exM，|MF2|＝a－exM|MF|＝＋xM 要点2 椭圆、双曲线的焦点三角形的相关结论1．椭圆设F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)当且仅当a2≥2b2时，椭圆上存在以P为直角顶点的直角三角形，其中，当a2＝2b2时，直角顶点为短轴端点；(2)离心率e＝＝，e＝；(3)|PF1|·|PF2|＝，S△PF1F2＝b2tan.2．双曲线设F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，∠F1PF2＝θ.则(1)离心率e＝＝，e＝；(2)|PF1|·|PF2|＝，S△PF1F2＝. 要点3 抛物线焦点弦的相关结论已知F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，PQ为过焦点F的弦，其中P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且弦PQ所在直线的倾斜角为θ.则(1)焦点弦长|PQ|＝x1＋x2＋p，且以焦点弦为直径的圆和准线相切；(2)P，Q的横坐标之积、纵坐标之积均为定值：x1x2＝，y1y2＝－p2；(3)|PF|＝，|FQ|＝，从而|PQ|＝，＋＝，S△OPQ＝.
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