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2.3.1 直线与平面垂直的判定
观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
1.理解直线与平面垂直的判定定理.（重点）2.会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题. （难点）3.培育同学空间想象能力与转化化归的数学思想.
思考1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.
2.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.ABαCBB1C1
⊥l平面α的垂线直线l的垂面A垂足
直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直,记作lα.
直线和平面垂直的画法αP注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.l
aBCl
aBC
思考2 若直线与平面内的很多条直线垂直，则直线垂直于平面吗？不肯定如图：
a本性利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基m方时，同法也得到了线面垂直的最基本的质.
a【提升总结】m.
①“任何”表示全部.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③ 等价于对任意的直线 ，都有
请同学们筹备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.ABCD动手操作
ABDC(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.α思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
l
amnP
BDCA BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直
l
amnP符号表示：
mn��aa,
�
�
mnPlI=�^a
�
�
lmln^^,
�
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线和平面垂直的判定定理
l
amnP
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不行少简记为：线线垂直 线面垂直定理补充
a
b
a因为直线 a
a^，根据直线与平面垂直的定义知
n分析：在平面内作两条相交直线.是两条相交直线，直线m，n．证明：在平面 内作两条相交
m
anam所^以又因为//ba，以所^.,bmbn^^又因为.,
mnmn��aa,,,
b^a.
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
α内的很多条直线垂直，则l⊥
α；②如果直线l与平面
α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于
α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于
α，则α内也可以有很多条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3B【变式练习】
下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面
����
思考4 如图，直四棱柱-CDBCDAAB中（侧棱与底面
����
垂直的棱柱称为直棱柱），底面四边形ABCD满足什么条
���
件时，AC⊥BD?
A
D
B
C
����
ACBD^
A
D
B
C
b
A探究：如何求直线与平面所成的角？
O
B
a
a'
OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角
l
a【提升总结】
a一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.
A1B1C1D1ABCD例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.O
交BC于O,接AO,AB⊥BC
，AB⊥BB,AB⊥平面BCCB.AB⊥BC,
又BC⊥BC,BC⊥平面ABCD.AO
斜AB在平面ABCD的射影，∠BAOAB
与平面ABCD所成的角.正方体的棱a2在Rt△ABO
中，AB=2a,BO=a,21BO=AB,∠BAO=30.2直解A：为o11B
和平面ABCD所成的角30.
A1B1C1D1ABCDO连点连因为所以所以所以所以为线内为设长为，所以线11111111111111111111111111111111o111接BC
，AB=BC,ABCV求证: VB ⊥AC.中，在三棱锥如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD【变式练习】D
VABCVA= VC
1．下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①② B．②③④C．①②④ D．①②③D
θ，那么θ的取值范围 是 ( ) A．0°＜
θ＜90° B．0°≤θ≤90° C．0°≤
θ＜90° D．0°≤θ≤180°【解析】由线面角的定义知B正确．B
2．一条直线和平面所成角为
3．长方体ABCD－ABCD中，AB＝2，BC＝AA＝1，
11111
p
则BD与平面ABCD大成的角的所小为________6．
11111
则BD是BD在平面ABCD上的射影，则∠BDB是
111111111
BD与平面ABCD所成的角．
11111
BB13
1
在Rt△BDB中，tan∠BDB＝＝＝，则
1111
BD3
3
11
π
∠BDB＝.
11
6
90º
5.如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.
直线与平面垂直判定定理及应用定义直线与平面所成的角转化思想：线面垂直 线线垂直定义判定定理
观察图中立柱与地面,立柱与桥面之间是怎样的位置关系?
旗杆与地面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
1.理解直线与平面垂直的判定定理.（重点）2.会用直线与平面垂直的判定定理分析解决问题. （难点）3.培育同学空间想象能力与转化化归的数学思想.
思考1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直.
2.事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的.ABαCBB1C1
⊥l平面α的垂线直线l的垂面A垂足
直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α相互垂直,记作lα.
直线和平面垂直的画法αP注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.l
aBCl
aBC
思考2 若直线与平面内的很多条直线垂直，则直线垂直于平面吗？不肯定如图：
a本性利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基m方时，同法也得到了线面垂直的最基本的质.
a【提升总结】m.
①“任何”表示全部.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.③ 等价于对任意的直线 ，都有
请同学们筹备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.ABCD动手操作
ABDC(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？当折痕AD⊥BC且翻折后BD与DC不在一条直线上时,折痕AD与桌面所在平面垂直.α思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
ABDC
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BDCA BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在的直线与桌面垂直
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amnP符号表示：
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�
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一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．直线和平面垂直的判定定理
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amnP
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不行少简记为：线线垂直 线面垂直定理补充
a
b
a因为直线 a
a^，根据直线与平面垂直的定义知
n分析：在平面内作两条相交直线.是两条相交直线，直线m，n．证明：在平面 内作两条相交
m
anam所^以又因为//ba，以所^.,bmbn^^又因为.,
mnmn��aa,,,
b^a.
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
结论：两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.
α内的很多条直线垂直，则l⊥
α；②如果直线l与平面
α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于
α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于
α，则α内也可以有很多条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．3B【变式练习】
下列命题中正确的个数是( )①如果直线l与平面
����
思考4 如图，直四棱柱-CDBCDAAB中（侧棱与底面
����
垂直的棱柱称为直棱柱），底面四边形ABCD满足什么条
���
件时，AC⊥BD?
A
D
B
C
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ACBD^
A
D
B
C
b
A探究：如何求直线与平面所成的角？
O
B
a
a'
OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面的垂线线面所成的角
l
a【提升总结】
a一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角.一条直线在平面内，或与平面平行，它们所成的角是0°的角.
A1B1C1D1ABCD例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.分析:找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影,就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.O
交BC于O,接AO,AB⊥BC
，AB⊥BB,AB⊥平面BCCB.AB⊥BC,
又BC⊥BC,BC⊥平面ABCD.AO
斜AB在平面ABCD的射影，∠BAOAB
与平面ABCD所成的角.正方体的棱a2在Rt△ABO
中，AB=2a,BO=a,21BO=AB,∠BAO=30.2直解A：为o11B
和平面ABCD所成的角30.
A1B1C1D1ABCDO连点连因为所以所以所以所以为线内为设长为，所以线11111111111111111111111111111111o111接BC
，AB=BC,ABCV求证: VB ⊥AC.中，在三棱锥如图，提示：找AC中点D,连接VD,BD【变式练习】D
VABCVA= VC
1．下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①② B．②③④C．①②④ D．①②③D
θ，那么θ的取值范围 是 ( ) A．0°＜
θ＜90° B．0°≤θ≤90° C．0°≤
θ＜90° D．0°≤θ≤180°【解析】由线面角的定义知B正确．B
2．一条直线和平面所成角为
3．长方体ABCD－ABCD中，AB＝2，BC＝AA＝1，
11111
p
则BD与平面ABCD大成的角的所小为________6．
11111
则BD是BD在平面ABCD上的射影，则∠BDB是
111111111
BD与平面ABCD所成的角．
11111
BB13
1
在Rt△BDB中，tan∠BDB＝＝＝，则
1111
BD3
3
11
π
∠BDB＝.
11
6
90º
5.如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC，求证：AC⊥平面PBD.
直线与平面垂直判定定理及应用定义直线与平面所成的角转化思想：线面垂直 线线垂直定义判定定理
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