12.3角的平分线的性质


教学目标1.掌握角平分线的性质定理及其判定定理，会用这两个定理解决一些简洁问题。2.理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。3.会作已知角的角平分线，并能写出已知、求作和作法。重点难点掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。


如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?经过上面的探究，你能得到作已知角的平分线的方法吗？小组内相互沟通一下吧！探究1---想一想：


1做一做：
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在 ∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
2
4AAＢＢＯＯＭＭＮＮ作法：作法：１．以Ｏ为圆心，适当长 为半１．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求射线ＯＣ即为所求．．ＣＣ 依据角平分仪的制作原理怎样作一个角依据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）的平分线？（不用角平分仪或量角器）　　 ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于


？ ＯＯ想一想：在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC，
？
呢
呢
线
线
分
分
平
平
角
角
是
是
C
C
O
O
么
么
什
什
为
为
∴△OMC ONC≌△（SSS）
∴∠MOC=NOC∠ 即：OC平分∠AOB证明：连结MC,NC由作法知:
5AAＢＢＭＭＮＮＣＣ


观论
角
，结
直
开么
个
展什
一
后出
出
然得
折
，能
再
）你
，
边，
折
斜痕
对
为折
B
O
痕条
A
折三
∠
条的
将
一成
：
第形
验
使叠
实
（折
)
1
形次
(


角两




三察？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.探究2---做一做：






质证一证
性
的
线
分
PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证: PD=PE

平






角
）
等
究
相
）

）
边
义
）
知
探
应
）
定
义
）
已
对
知
S
的
定
（
）
的
A
已
直
的
B
A
证
形
（
O
垂
线

中）

已
（角
B
分⊥（
O
）
边

（
O
三
O
E
EO
平
E
证
共
O
P
A
等
P
E
P
E
角
已
P△公
△
全
P

，
∠
（
∠
（
和（

∠
（
≌
A

2
分=
O
2
=
P
E
O
O
∠
O
D
平
P
O
∠O
D

D
=
P
⊥=
=
D

C
=P
1P
D
P
△
P
1
D
O
△
∠∠ P
O
P
∠
∠
在
∴
∴
∵
∴∵∴










：










明









证


∵∠1= 2, ∠ PD
⊥ OA， PE ⊥ OB∴PD=PE（角平分（角平分线上的点到角两边线上的点到角两边的距离相等）的距离相等）PAOBCED12说一说：
角平分线上的角平分线上的点到角两边的点到角两边的距离相等。距离相等。角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程?(几何符号语言）


91、明确命题的已知和求证证明几何命题的步骤有哪些？总 结总 结3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。2、依据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；


△中，BD平分∠ABC，DEAB⊥于E，则：⑴图中相等的线段有 ;相等的角有： 。⑵哪条线段与DE相等？为什么？⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE△
的长和AED的周长。EDCBABE=BC,DE=DC∠ABD= ∠CBD∠BED= ∠AED= ∠C6810DC，角平分线的性质BE=8，AE=2, AED
△的周长8
动脑筋动脑筋 在RtABC


思考： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）sＯ公路铁路


：DCsＯ公路铁路2、截取 OD=2.5cm ,D即为所求。1、作夹角的角平分线OC，
解


两？已知：如图,QD ⊥ OA，QE ⊥ OB，点D、E为垂足，QD ＝ QE．求证：点 Q 在∠AOB的平分线上．探究3---猜一猜：
的吗
角立
到成
部上
内线
的分
角平
：的
来角
过在
反点
质的
性等
的相
线离
分距
平的
角边


QD⊥OA，QE⊥OB（已知），　∴ ∠
QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△
QDO和Rt△QEO中
　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△
QDO≌Rt△QEO（HL）　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．试一试：
证明: ∵∵


角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE


交
.
相
等
N
C
相
离
、
距
M
B
的
A
线
相
C
分
离
、
平
距
C
.
上
角
P
B
于
的
的
M
点等DEFABCPMN动脑筋动脑筋
、
直
边
CB
于
B
相
B
垂
两
A
A在
离
别
的
△
P
边
距
分
，
角
三
点
F
的
图
到
到
P
，
A
如
P
点
C
线
、
：
点
的
E
分
知、
：
P上
平
已
C
证

线
B
、
2
角
求


分
.
，
的、
D
F
例
F
平
P
.
A
P
CB
F
=
C
BA
角
、
P
作
E
A
=
E（
P
、
P
边
E
△


E
CP
到
、
点
P
是
=
B
理
=
P
D
D
过
M
D
同P
、

BP点

：为
）

B∴
∵∴



即

明足

A等








证垂


利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游进展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,肯定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?


∠，DCAC⊥， DEAB
⊥　 ∴___________．（____________________ _________________） （2）∵DCAC
∠DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上．　　 角平分线上的点到角的两边的距离相等．随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习ACDEB12
⊥，DEAB ⊥，DC=DE
∴__________．（____________________ _____________________________）∠1= 2
┌
1．（1）∵∠1= 2


⊥，，ADAD为为∠∠BACBAC的平分的平分线，线，DEAB
⊥ACBC
⊥，，ABAB＝＝77㎝，㎝，ACAC＝＝33㎝，求㎝，求BE=BE= CM.CM.EDCBA4
⊥DEAB
192.2.如图如图,,在△在△ABCABC中，中，ACBC


3．直线表示三条相互交叉的公路，现要建一 个货物中转站，要求它到三条公路的距离 相等，则可供选择的地址有：( 　 ) A．一处 　　 B． 两处 C．三处 　　 D．四处DD


⊥于点D，CEAN⊥于点E， BD，CE交点F，CF=BF，求证：点F在
∠A的平分线上．提示：证明△CDFBEF
≌△．利用角平分线的判定定理说明结论
ADNEBFMC4．已知：BDAM