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第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质人教A版2019高中数学必修第一册
不等关系及其表示 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子
不等关系及其表示【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋 白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 设三角形三边分别为，则 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQABCPQ
不等关系及其表示【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查 发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价 才能使涨价后的总收入不低于20万元?【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 所以用不等式表示为：单价涨了多少元单价涨了多少个0.1元销量少了多少个2000元
实数大小的比较如何解不等式 ≥20呢？ 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
� BA� A(B)�
�� �=� 实数大小比较的基本事实①【作差法】①②③
实数大小的比较 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，. AB
实数大小的比较 设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；当的值等于1时，. ① ② ③ 实数大小比较的基本事实②【作商法】 设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；当的值等于1时，. ① ② ③
22
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¿�+5�+�−�+5�+4
¿2 2＞0，所以
＞
比较和的大小. 【解】运用作差法： 0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
2
�+4�+42
(�+2)x+2
¿¿
2
x−2
(�+2)(�−2)
�−4 ， 所以，即 ，所以
，比较和的大小. 【解】运用作商法： 1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源
于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？ 很显然赵爽弦
图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它
抽象成如图所示的图形. 设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，
四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然
正方形的面积大于三角形面积和.即
�
�
腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，
此时，有，所以综合可知，
� 当直角三角形变为等
�
一个重要不等式 如图是
般地，，这个不等式被称为重要不等式，当
且仅当时，等号成立. 事实上，利用
完全平方公式也可以得到这个不等式： 因
为,,当且仅当时，等号成立.所以
，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：，当
且仅当时，等号成立.
�≥�⇔�−�≥�；��⇒�−�>0
�>�⇒�−�>0 (�−�)+(�−�)>0⇒�−�>0⇒�>� 如
果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过
去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：如
果且，那么只能得到，无法得到；如
果且，那么只能得到，无法得到；如
果且，那么可以得到. 此时有.
不等式有什么性质？★【对
果，那么 如
果，，那么； 如
果，，那么 不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .如
有一个等式有等号也是
传递不过去的.
果，,那么 不等式两边同时加上一个数，不变号不等式两边同时乘上一个正数，不变号；如
果，,那么 如
果，,那么 只
不等式有什么性质？★【可加性】★【可乘性】★【同向可加性】如
果， ，那么 我
果，那么 我的等号左右能对应加减乘除(除数不为0)，你行吗？等式不等式
只有同向可加性，同向可乘还必
须保证是正数
！如
不等式有什么性质？★【同向同正可乘性】★【同正可乘方性】如
知，，求证 【分析】因
为，所以要证，可先证明 【
证明】因为，所以， . 所以 ， 因
为，所以，即
已
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第2章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质人教A版2019高中数学必修第一册
不等关系及其表示 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子
不等关系及其表示【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋 白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.设该路段行驶的汽车速度为，则 ， 设三角形三边分别为，则 设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQABCPQ
不等关系及其表示【问题2】某种杂志原本以每本2.5元的价格出售，可以售出8万本.据市场调查 发现，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价 才能使涨价后的总收入不低于20万元?【分析】设涨价之后的杂志每本定价元，则销售总收入为 万元， ≥20，求出不等式的解，即可求出定价 所以用不等式表示为：单价涨了多少元单价涨了多少个0.1元销量少了多少个2000元
实数大小的比较如何解不等式 ≥20呢？ 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质，那么这些不等式的性质为什么是正确的呢？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变
� BA� A(B)�
�� �=� 实数大小比较的基本事实①【作差法】①②③
实数大小的比较 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，. AB
实数大小的比较 设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；当的值等于1时，. ① ② ③ 实数大小比较的基本事实②【作商法】 设，当的值小于1时，；当的值大于1时，；当的值等于1时，. ① ② ③
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比较和的大小. 【解】运用作差法： 0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
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�−4 ， 所以，即 ，所以
，比较和的大小. 【解】运用作商法： 1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来源
于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？ 很显然赵爽弦
图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把它
抽象成如图所示的图形. 设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，
四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然
正方形的面积大于三角形面积和.即
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腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，
此时，有，所以综合可知，
� 当直角三角形变为等
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一个重要不等式 如图是
般地，，这个不等式被称为重要不等式，当
且仅当时，等号成立. 事实上，利用
完全平方公式也可以得到这个不等式： 因
为,,当且仅当时，等号成立.所以
，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：，当
且仅当时，等号成立.
�≥�⇔�−�≥�；��⇒�−�>0
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果传递的时候两个不等式只有一个带等号，那么等号是传递不过
去的.只有两个不等式都带等号，等号才能传递过去.例如：如
果且，那么只能得到，无法得到；如
果且，那么只能得到，无法得到；如
果且，那么可以得到. 此时有.
不等式有什么性质？★【对
果，那么 如
果，，那么； 如
果，，那么 不等式两边同时乘上一个负数，要变号 .如
有一个等式有等号也是
传递不过去的.
果，,那么 不等式两边同时加上一个数，不变号不等式两边同时乘上一个正数，不变号；如
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不等式有什么性质？★【可加性】★【可乘性】★【同向可加性】如
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只有同向可加性，同向可乘还必
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不等式有什么性质？★【同向同正可乘性】★【同正可乘方性】如
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证明】因为，所以， . 所以 ， 因
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