第1章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系人教A版2019高中数学必修第一册


集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？ 观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？（1）A={1，2，3，4}，B={1，2，3}（2）集合A：高一全体学生，集合B：高一全体男生（3）集合M：所有等腰三角形，集合N：所有等边三角形 可以发现，在（1）（2）（3）中的两个集合A和B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A包含集合B，或者说集合B包含于集合A。像这样，对于两个集合A，B，如果集合B中任意一个元素都是集合A中的元素，就称集合B为集合A的子集，记作：B⊆A，或者B，读作B包含于A，A包含B 


集合A包含集合B是什么意思？什么是子集？【对子集的理解】（1）若A⊆B，则有任意， （2）当集合B中存在不属于集合A的元素时，我们就说集合B不是集合A的 子集，记作或，读作“B不包含于A”或“A不包含B”， （3）集合中的专业术语只有子集，没有母集或父集举例说明，若A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,5},则有，， 


设集合A={0，1，2}，集合B={|,},求A与B的关系。 【解】由题意易知的情况有如下几种： 0+0=0， 0+1=1， 0+2=2， 1+1=2， 1+2=3， 2+2=4，即有0，1，2，3，4一共5种结果，则： B={0，1，2，3，4}，所以A ⊆ B


什么是Venn图？【答】在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做 Venn图。这样，如果，就可以表示如图： AB【注意】①表示集合的Venn图的便捷是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆、 也可以是其他封闭曲线②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意 区分大小关系。


A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（ ）A. B. C. D.  【解】由Venn图易知B是A的子集，即，选D ABD


两个集合相等是什么意思？【答】一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，且集合B的任何 一个元素都是集合A的元素，那么集合A和集合B相等，记作： A=B 也就是说，若，且，则A=B 【举例说明】 ①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B②若集合A：中国的直辖市组成的集合；B={北京，上海，重庆，天津} 则A=B


两个集合相等是什么意思？【问题】怎样证明或判定两个集合相等？(2)判定两个集合相等，可把握两个原则： ①设两个集合A，B均为有限集，若两个集合中元素个数相同， 且对应元素分别相同，则两个集合相等【答】(1)若，且，则A=B，这就给出了证明两个集合相等的 办法，即要证A=B，只需证明，且  ②设两个集合A，B均为无限集，只需看两个集合的代表元素 及其特征是否相同，若相同，则两个集合相等，即A=B


已知集合A和B的关系为A=B，其中A={1,-1},B={}，求 【解】由题意B中的元素也是1和-1，因为≥0， 所以=1， 则=-1或1(舍) 综上，则=-1 


什么是真子集？难道还有假子集？【答】若集合，但存在元素，但，即B中有不属于A的元素 存在，那么就称集合A是集合B的真子集，记作： A⫋B 或 B⫋A 如A={1,2,3}，B={1,2,3,4},则A ⫋ B 【对真子集的理解】①理解真子集概念时，需明确A⫋B，首先要满足 其次要满足至少有一个元素，但 ②注意符号“”“”“⫋”的区别，如A={1,2}， B={1,2,3}，C={1，2，3}，则A⫋B，， ③没有“假子集”这个概念


掉空集∅
写出集合{1,2,3}的所有子集，并指出哪些是它的真子集【解】子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}其中真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}【分析】可把子集分为三类： ①不含元素的：∅ ②含有一个元素的 ③含有两个元素的 ④含有三个元素的【注意】书写子集的时候千万不要漏


断下列各组集合A是否是集合B的子集，说明理由。(1)A={1，2，3}，B={| 是8的因数}；(2)A={| 是
长方形}，B={| 是两条对角线相等的平行四边形} 【解】(1)因为3不是8的因数，所以集合A不是集合B的子集， (2)因为
长方形的一个定义就是“对角线相等的平行四边形”， 所以A=B，当
然有 
2.判


空集?【答】我们知道：
方程没有实数根，所以方程的实数根组 成的集合
总没有元素。 都表示没有的意思都是集合都是集合∅是集合，0是
空集，记为∅，并规定： 空
集是任何集合的子集，并且：空集是任何非空集合的真子集
实数∅不含任何元素，{0}含有一个元素0∅不含任何元素，{∅}是一个集合，它是由集合组成的一个集合，含有一个元素，这个元素是∅0 ∉ ∅ ∅ ⫋ {0} ∅ ⫋ {} 
∅   或∅∈{}∅一般地，我们把不含任何元素的集合叫做
什么是


述集合间的基本关系，我们可以得到如下结论：（1）任何一个集合是它本
身的子集，即； （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么 即：包含关系
具有传递性 
包含关系{} A与属于关系有什么区别？ 【答】① {}表示含有一个元素的集合， {} A表示集合A包含{}，这是 两个集合之间的关系，如{} { } ② ，表示是集合A中的一个元素，这是元素与集合间的关系，如 ∈{ } 由上


适当的数学符号填空。(1) _____ {} (2) 0 _____ {}(3) ∅ _____ {|} (4) {0，1} _____ N(5) {0} _____ {} (6) {2,1} _____ {} =∈∈⫋⫋=
1.用


某个集合子集的个数？【答】以集合{1,2,3}为例，它的子集可以这么
来分析：对于集合{1，2，3}中的每一 个元素1，2，3，在它的子集中都有两种情况：①在子集中 ②不在子集中， 如下表：✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔✔∅{1}{2}{3}{1,2}{1,3}{2,3}{1,2,3}【
规律总结】所以，含有n个元素的集合的子集有个；真子集有个； 非空
子集有个；非空真子集有个； 
如何求