2
yaxbxc=++的图象与
x轴交于
A、B两点（点A在点B的左边），与
y轴交于点C，3)，过点(0
C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为
M，直线
yx=+经过D、5
M两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接
AC、BC，试比较MAB�和�解：（xCD的大小，并说明你的理由.【答案】1）∵CAB
AM、
∥轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3) ．∵直线y= x+5经过D点，∴3= x+5．∴x=－2．即点D(－2，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y= x+5经过M点，∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为
2
yxa即抛物线的解析式为=++0∵点C（．．3）在抛物线上，，∴a=－14(1)
2
xxy…………3=--+．CA分（2）作BP32
⊥于点P，MNAB⊥于点N．由（1）中抛物线
2
yxx=--+可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=23
32．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=
22．∴PC=AC－PA=
2．在RtBPC
PB
PC=2．在RtANM
△中，tanBCP=∠
△中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tanNAM=
MN
AN=2．∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．
∠
类型二 二次函数与角度问题例1、已知抛物线


2
yaxbx=++经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=3
∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【答案】解：（1）∵
2
（M5，－y过点、），N2xaxb3
MN，由题意，得M（6
）.∴5
，4
4a 解得 2b35,

16a4b35.

a∴此抛物线的解析式为1,


b2.

2
.…………………………………2 ）设抛物线的对称轴分y2（x2x3
G为直角三角形，则x交，N于点NM若△DM1
1
D∴GD（1.DGNM3
12
2
D（
为分）.………………………………………4直线MD18
，1），2，1
2
y，直线x1y（，x.将Px9
MD为
2
2
）分别代入直线D，1xM2x3
MD的解析式，得
2
22
，①x2x3x1 得①解x.②2x3x9
x，1x（舍），4
12
例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线


P（1,0）. …………………………………5分解②得
1
x，3
x（舍），∴4
34
P（3,－12）. ……………………………6分（3）设存在点Q（x，
2
2
），Q使得x=NM∠2x3
∠CNM.
①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则
QH.即
tan∠CNM4
MH
2
解得.x2x35（4x4）
x，2x（舍）.∴4
12
Q（
，.3 ）……………………………7分2
1
②若点Q在MN下方，同理可得
Q（6，
、物线）. …………………8分例3面平直角坐标系xOy中，抛54
2
2
yaxaxac=-++与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=44
∠ACB，求点P的坐标； (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为
A�，若
△的坐标和此时AQ求点，QQB2
QAA�的面积．
∴


22
∵xaaccyaxax，+ -=++=-)244(
∴抛物线的对称轴为直线
x=． 2
2
acyaxax轴交于 =-++与x的坐标为 点A、点B，点A44
∵抛物线
(1,0)，
(3,0)，OB＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为
∴点B的坐标为
yxxa-=-． )3()1(
∵OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，
(0,3)．将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分
∴OC=3，点C的坐标为
2
yxx=-+．（如图9）…………………… 3分 （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点43
∴此抛物线的解析式为
P，点P关于x轴的对称点为点
11
P，点P、点P均为所求点.（如图10） 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线
2
12
x=上． 2
∵�都是弧AB所对的圆周角， CBA
�、APB
1
APB∠ACB
∴1）可知由（． BPA∠BCA
1，且射线FE上的其它点P都不满足
∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线
yx=上．
∴点E的坐标为
9AEx．………………………………………………… 4分图ByOٻ1DC22)(,
【答案】（1）


∴由勾股定理得 EA=． 5
∴EPEA==． 5
1
P(2,25)……．……………+………………………… 5分由对称性得点
∴点
1
P的坐标为
1
P的坐标为P(2,25)6．- ……………………………… -分∴符合题意的点P的坐标为
22
P(2,25)+、P5,22)(.--（3）
1
2
B、0)(,3D(2,1)线，可得直-BD的解析式为
∵点B、D的坐标分别为
xy，轴直线BD所 x-=与夹的锐角为45°．3
∵点A关于∠AQB的平分线的对称点为�，（如图11）若设
A
�与∠AQB的平分线的交点为M，则有
AA
���三点在一条直线上．
QAQA=，AAQM^，Q，B，A
�
AMAM=，
∵QAQB-=， 2
作BA'QA'QBQABQ2.
∴
�⊥x轴于点N．
AN
∵点Q在线段BD上， Q，B，�三点在一条直线上，
A
∴���
=，=װNBAAsi154n=װ ．=BABNcos145
�．
A(4,1)
∴点�的坐标为
A
∵点Q在线段BD上，
Qxx(,3)-，其中
∴设点Q的坐标为32<<． x
�
∵QAQA=，
2222
(1)(3)(4)(31)xxxx-+-=-+--．解得
∴由勾股定理得
11
x=．经检验，
4
11
x=在
23<<的范围内．x
4



111
Q(,) ．-…………………………………………… 7分此时
∴点Q的坐标为
44
1115
SyyBASS+线物抛，=+=��+=��知=．已… 8分例4、)()2(1
DDDBQBQAQAAAAA���
2244
2与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求∠DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），-4=a
yaxbxc
∴（0+2）（0-8）．解得a=
1．∴抛物线的解析式为y=
4
1(x+2)(x-8)，即y=1x2-3x-4；（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，m=2
442
∵，∴直线的解析式为y=x+2，∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，F
∴、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，可得CM=FM=MD=5，F
∴、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．DCF=
1DMF=45°
∴∠∠．
2



25）设F（3，3+m），则FG=m+3+
4
25，设D关于对称轴的对称点为D1，当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（
4
F′G-3）=-14，纵坐标为m-（131F′G-3-m）=
282
4将-m，=mD点坐标抛物线解析式，解得13
8
5．例5、如图，抛物线
4
2
y与，axbx3与x轴交于A,B点两点轴交于y
C，且
OB．）探究坐标轴上是否存在点II（（I）求抛物线的解析式；CO3OA
P,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出A,C
P，使得以点
P点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线
1
y交x1
y轴于
3∠DBC，
D点，E为抛物线顶点．若
E【答案】B解：（）IC的值．,求
3,032点轴交与抛物线Cybxaxy∵，且
OB．OC3OA
．∴A1,0,B(3,0)
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-


2
y，得axbx3
ab30a1
∴
9a3b30b2
∴IIy）当①（x22x3
�=�PAC90,时可证
∽PAO
1 ACO
1
11
∴RtPAO求求．11ntaPOAtan∠OCA:如图当 同理②P1(0,)
33
∠当③PAC90时，P(9,0)
22
综上，坐标轴上存在三个点∠PCA90，时P(0,0)
33
P)0,为顶点的三角形为直角三角形，分别(是31,A,C
P，使得以点
1P
（）IIIP．(0,0)
P，(29,0)
3
1

由y．x1,得D0,1
2
∴．由yx2x3，得顶点E1,4
3
．CB32,CE2,BE25
BC ．222CEEB,∴CEB为直角形角三
∵
CE1
∴tan． 又
CB3
OD1
∴RtBDO．求tna∠DBO
∴DBO．∠
OB3
，的解析式，若不存在，请说明理由． l存在求出若，形角三角直是，联结．例6、如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4C C、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为lB，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′ODBOBC45
代入


16 a 解得：a8164
1
2
y ）4,6 分⑵证明坐标为（－-------1：由抛物线的解析式知:顶点Dxx4
∴抛物线的解析式为：
8
∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上∴C点坐标为(－4，－4)设直线BD解析式为：
∴4，ky 4有：-6xk4k0
1
k
2
图（1） 备用图 【答案】⑴解：由题意知：


1
xCE作轴的交点∴直线BD与yA的坐标为（8,0C）过点x4
2
y轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90°
⊥
∴∠∠∴△CEBBOA(SAS)-----------------------------2
≌△分∴CB=AB, 1=2
∠∠∵∠2